第62章 勾股先师——商高

几何学上的勾股定理，即直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，或称“勾方加股方等于弦方”（公式为a2 b2=c2）。这一定理，在世界上是谁首先提出来的？有人说是古希腊的毕达哥拉斯，有人说是中国的商高，各说不一。这个定理从提出到逐步完善，是经历了一个相当长的历史过程的。但是，就其时间而论，首先在世界上提出这个定理的，无疑当是商高。

商高是我国西周初年（约前11世纪）卓越的数学家。关于他的生平，史书记载甚少，人们只能从一些传说中得知片鳞只爪。然而，可喜的是在《周髀算经》中，却将商高的成果载入史册，使后人得知这位数学大师在世界数学史上的成就是十分辉煌的。

《周髀算经》，是我国西汉或更早时期的一部天文历算著作。它的主要内容是阐述“盖天说”——一种宇宙结构学说。在此书第一章的“周公问数”中，记载了西周开国初年周公姬旦与商高的这样一段对话。大意是，一天，周公问商高：“没有台阶可供我们上天，也没有一把合适的尺子供我们量地，那么，怎样才能确定天有多高，地有多广呢？”商高答道：“办法还是有的，那就是利用勾、股、弦之间勾三、股四、弦五的关系进行推算。当年，大禹治水就是用这种方法来测量山川地形，引洪水入海的。”在这段对话中商高首次明确地提出了“勾广三，股修四，径隅五”的定理。

对于商高提出的这个定理，《周髀算经》的记述过于简略，更未载入其详细演算过程，使得后人十分费解。这“勾广三，股修四，径隅五”中的三、四、五，究竟寓意多大呢？

直到3世纪初，三国时期的数学家赵爽，根据商高所提出的“数之法出于圆方”，以及“矩”是一种由三块木板钉成的木工用的“方尺”等条件，反复进行研究、推断，才悟出其中的含义：“勾亦广，广，短也。”“股亦修。修，长也。”“径，直；隅，角也。亦谓之弦。”也就是说“勾”是直角三角形中较短的直角边，“股”是较长的直角边，“径”是在矩上截勾、股两端点联成的直线长，也叫“弦”。它们之间的关系是“勾、股各自乘，三三如九，四四一十六，并为弦自乘之实二十五。减勾于弦，为股之实一十六。减股于弦，为勾之实九”。这样一来，终于将商高提出的这个深奥的“谜”解开了。

勾股定理，在我国是商高首先提出来的，故称之为“商高定理”。而在西方，则称之为“毕达哥拉斯定理”。就目前所掌握的史料来看，他们之间并不存在着源流关系。但就其时间而论，商高却比毕达哥拉斯早六百年左右提出这一定理。因而可以说，“勾股先师”这个称号，我国的商高是受之无愧的。