“这个学科能把灵魂引导到真理”
耿开君
（不懂几何学者不准入内）
我相信：如果上帝当初有一份给人预备的礼单，那么，数学，必定是最前面几项中的一个。如果说古人拥有现代人已经丢失了的“地天通”的“精爽不二”的气质和能力，那么，这句传说中刻在柏拉图学园门楣上的铭言，正是古希腊人领会到数学之为圣物的见证。
在人类诸多知识分支中，为什么数学可以占有如此崇高的地位？柏拉图说——“这个学科能把灵魂引导到真理”。
如果说哲学、神学、诗歌、艺术是关于心灵、精神的活动，似乎不足为怪，但如果说几何、三角、微积分、非欧几何、泛函分析、抽象代数、集合论、拓扑学能给人以生命、让心灵涅槃、使精神获得彻底自由，你相信吗？
在距今2500多年前古希腊殖民地的南意大利，曾经有这样一个团体，他们就虔信数学有这样的功能：数既是宇宙万物最终的奥秘，是七弦琴能够奏出美妙音乐的原理，也是人的灵魂得到净化、获得解脱的道路，甚至是唯一的道路。这个团体的创立者、领袖是毕达哥拉斯，就是拉斐尔《雅典学院》画中左下角那个虬髯秃顶、聚精会神在一本大厚书上写着什么的人。我们现代人所知道的数学，在古代曾经是一种宗教、一种灵修手段、一种最高的“灵智”。据传说，毕达哥拉斯定理的发现让人们陷入狂喜，以致宰杀了一百头牛来宴庆；一位该学派的门徒则因泄露无理数存在的秘密而被溺杀于海中。
令人无限赞叹的古希腊文明中，比帕特农神庙更为壮观的是希腊人对纯粹数学精神的初次领悟。而在古希腊人中，正是柏拉图明确地看到了数学精神及其与人、灵魂、宇宙和神的关系。因此，尽管“不懂几何学者不准入内”仅是一个传说，尽管柏拉图学园也非现代观念中的“学校”，但作为一名最伟大的教师，柏拉图必定要在其学园中传授数学。
人，生而具有这样的宿命：我们生于这沉重的肉身之内，我们蝇营于这物质的尘世之中，我们生老病死，去日苦多。我们眼看着这一切的发生，看着生命流逝而无可奈何。于是有智者圣人横空出世，告诉我们过灵魂的生活是可能的，通往不朽世界是有道路的。古希腊的苏格拉底、柏拉图们就是这样的人，而数学，就是一种这样的道路。
在柏拉图看来，数学之妙用就在于它能迫使我们“向上看”，让我们能张开沉睡在这肉身当中的“心灵之眼”，使我们冲破跟尘世、自然相关的一切假设和规律，而进入到那不可见但却最完美、实在而不朽的国度。
这种被柏拉图所明确表达、成型于柏拉图学园中的数学精神，并不因柏拉图主义者对灵魂不朽、理念王国、形而上学和神的信念而有任何贬损，相反，最为奇妙的是，正是这些具有宗教意味的信念构成了整个数学史延绵至今的精髓和动力。实际上，我们把包括柏拉图在内的希腊思想称作人文主义的顶峰，就是因为在这种人文主义中隐含着对人自身神性的自信和骄傲。而这，从某种程度上说，是由数学所具体滋养的。
数学的本质是演绎推理，是建立一条完全脱离感性的道路，它依靠的是什么？它依靠的是必须相信某种基础——理性（努斯），相信理性的终极性，哪怕这种理性只是人灵魂、意识自身的奥秘。而至关重要的是，这样一个纯粹者、彼岸者，竟然通过数学而在此岸、在物质世界有效。由此而建立的人自身的自信也就并非宗教，柏拉图哲学真正有魅力之处也在于此。
数学是一种恩赐，它给我们此世的这个家乡——宇宙，提供了一幅Google立体地图，这个地图竟然如此简洁、和谐和美妙。罗素说得好：“数学不仅拥有真理，而且还拥有至高无上的美——像雕塑一样冷峻的美。这种美无需投合我们软弱天性的任何方面，无需任何绘画与音乐手段中的华丽装饰，但却高洁完美，唯最伟大的艺术才能展现。它是真正内在的喜乐和最高的迷醉；它超越了人的感受，是最卓越者的标志，这一切只有在诗和数学中才能得到。”真正从事数学的人是何等幸福，那是一种怎样的人生！
在柏拉图殁后半个世纪，学园所代表的数学理念终于孕育成一座人类文明的丰碑，这便是欧几里得几何学的诞生。欧氏几何学以抽象为根本原则，把理性与经验一分为二，从而建立一个独立的世界，公理系统及演绎方法的建立实实在在地赋予了人以心灵之眼在这个世界中仰观天文俯察地理的能力和信心。欧几里得几何体系的清晰与简洁，给出了理性之美的具体标准。人类理性传统的确立迈出了关键而辉煌的一步，文明从此获得了一种神力，人得以分享如神一样生活的力量。
心灵之眼能够睁开、人类能够获得此种神力，全赖于柏拉图所说的——他们必须脱离可变世界，把握真理，否则他们就永远不会成为真正的计算者。
真实者是仅能被理性和思考所把握，用眼睛是看不见的。
在经验与思想的关系上，柏拉图主义从根本上否定了因果律，演绎的逻辑仅限于、必须限于并且自足于理性思想的领域。即使我们以现代人的立场或顾虑悬搁柏拉图主义数学观的基础问题而考虑数学是约定、是最终来源于经验的，它仍然可看作是人类灵魂一种全新的表达形式，就像诗歌之不同于历史学一样。柏拉图主义的数学观建立了一种全然不同的与经验世界的关系，这就像是一个想象的世界，它飘浮于我们所生活的这个经验和现象的世界之上，但却让我们有可能进入到一个完全不同的世界中去。奇妙的是，那个世界却会让我们感到更真实，不仅是形而上学、灵学、诗意上的真实，它竟然能返身于我们这个物理世界中重新以因果律而发挥效力。且不说海王星的发现得益于纯粹计算、麦克斯韦以纯数学方式推导出电磁波的存在这样的例子，当非欧几里德几何思想提出时，它完全是一个逻辑的产物，以至于天才的数学家高斯竟然不愿意将它公之于众，但到爱因斯坦广义相对论时代，逻辑上的抽象空间终于与物理空间相互印证。当坐标几何以代数语言表述出圆的所有特征并进而还能表述四维、高维几何的时候，当这些数学被应用于物理学的时候，柏拉图“思想取代眼睛”的说法被再次证实。
数学为我们提供了一条踏入三维、四维和更多维世界的道路，换句话说，通过数学，我们已经不能那么肯定这个经验和实用的世界就是我们正生活于其中的唯一世界，毋宁说，我们每天都生活在一个（或一些）全然不同的世界中，我们只是需要睁开我们的心灵之眼，所谓“玄文处幽兮，矇瞍谓之不章；离娄微睇兮，瞽以为无明”。柏拉图《理想国》中洞穴之喻所揭示的根本道理是：我们要超越的不是哲学家与大众的对立，而是我们自己的心灵与日常生活的对立；洞穴之喻是自我与自我的对话，哲学家自己何尝不也是囚徒呢？“返回洞穴”就是从数学超验律返回到这个因果律的世界中。“洞穴”的意义并非仅仅是政治哲学的，它是数学的、宇宙学的、形而上学的（这也是形而上学的真正意义和价值所在），哲学家所真正操心的是高于城邦事物的那些对象。
相对比较，古希腊另一位大哲亚里士多德的数学观却正好成为对照。也许亚里士多德身上那种希腊人的作为人的自尊心过强了，或者他的理性头脑过于冷静了，他不要什么“心灵之眼”，就像不信赖代达罗斯那用蜡和羽毛做成的翅膀一样，更不相信有另外世界的存在；他相信的是自然（φυ＇σιs）。按照自然的信念，便要更崇奉因果律，要追求第一因；而数学，在亚里士多德那里，就要通过“看作是”、“从某种方面来考虑作”、“通过什么手段”来进行抽象的思考，“点”、“线”、“面”都是我们在思想中所“看作是”、“当作是”的产物。这样的数学信念和方法，在古代、在传统几何学中与柏拉图主义尚难分伯仲，但自然主义、因果律的约束性最终在天文学、代数、非欧几何和现代数学的发展中遇到了难以逾越的困难。心灵没有翅膀，永远难以飞得更高。
如果说有“古典精神”，那么，在人类众多思想操练中，数学最能体现古典精神。古典精神最直接的特征是优雅、崇高、和谐、简洁、美、宁静，数学的理性所构造或想象的宇宙正是这样的世界，“优雅乃是理性的愉悦”（温克尔曼）。古典精神的本质是柏拉图主义，是按照一种形而上学基础和信念而生活出来的样式。唯有柏拉图主义的形而上学才是真正散发着天光的诗，是朝着无限宇宙深处飞翔的航行术，学习、操作数学的过程就是生活在真正的古典精神中。
别以为这是不堪一击、空中楼阁的唯美主义，正相反，唯有这样的古典精神才能创造出真正的悲剧，才能真正高屋建瓴、执一御万。希腊悲剧与希腊数学有着共同的基础，那就是对理性这个绝对权威服从的同时参与还有欣赏，希腊悲剧的美感正是从这样的基础上生发出来的，这是《被缚的普罗米修斯》中奥林匹斯山上的宙斯所畏惧的、高加索崖壁上普罗米修斯所预见到的那种东西，是雕塑尼俄柏面庞上那种作为一个母亲经受丧子之痛时仍不失高贵、尊严、优雅的表情，是俄狄浦斯王自毁双目之后方始清晰看到的命运和人性。文艺复兴最懂、最接近希腊古典精神的人是拉斐尔，就是因为拉斐尔比其他人更明确也更准确地以优雅、高贵、和谐、宁静的色彩、光线和造型描绘了包括恶在内的这个世界。舍斯托夫那著名的说法“用带血的头颅来撞理性的铁门”其实完全不用那么悲壮（俄罗斯思想总是悲壮有余），希腊的古典精神——正如柏拉图的数学一样——给了我们更优雅的方式，让我们平静、高贵而又充满喜悦地来往穿梭于那铁门内外。只是此“理性”非彼“理性”，这乃是努斯、灵智，而非“机器中的幽灵”。与现代精神相比，古典精神的优越性，就像与成人相比儿童的优越性一样，是那种以自然而然而又不乏尊严地来面对并解决世界和人生中一切问题的方式、仪态。
也不要以为凡从事纯粹数学者（更不要说职业的、技术的数学家）就能入此胜境。按柏拉图说法，首先要有天赋，是那种最坚定、最勇敢、最有风度、性格高贵严肃、学习起来不费力等一系列素质，然后，要从数学的预备学习进入到辩证法的学习和训练，灵魂才能真正看到实在。的确，我们看到有阿基米德这样的圣者，能在手执刀剑的罗马士兵面前旁若无人地说：“让我把这道题解完。”但我们也看到：在非欧几何新思想面前，凯萨里在推导出无矛盾的定理后却转身去重新论证欧氏几何的绝对正确，高斯因害怕或避免麻烦而秘而不宣，鲍耶因得不到肯定而极度沮丧最后放弃数学研究，唯有罗巴切夫斯基坚信理性的绝对权威。而在得出那些与常识相反但与逻辑一致的解决无穷问题的集合论思想后，因被这个地上的世界忽视、嘲弄，康托尔最后竟致精神失常。哥德尔也是一生饱受忧郁症、多疑症的折磨，最后死于“人格紊乱”所造成的“营养不良和食物不足”。要想最后进入数学这美丽的国度，要想睁开心灵的眼睛看到那个另外的空间，要想真正享受到那最高的幸福，数学生活仍然要借助辩证法，才能穿越孤独、苦难、现实而修成正果。所谓辩证法，既是“上升”、“看到联系”——脱离开假设、肉眼而从我们生活的世界看到那真实者、看到星星、太阳，更重要的它还是“下降”、“看到分别”——也就是对我们这个由无数巨细众生所构成的人间世重新怀抱一种亲切的态度，在每一个存在物上面都能看到理念的光芒和联系。真正的数学家必定也是一个哲学家啊。
如果说“音乐是唯一不带罪恶的感官享受”，那么，数学则是唯一最接近不带任何身体欲望的心灵享受，是亚里士多德所说的“唯一因其自身而被人们喜爱的”沉思活动，这样的活动是一种“比人的生活更好的生活，因为一个人不是以他的人的东西，而是以他自身中神性的东西，而过这种生活”。这是人所能享受到的最高的幸福，是真正的“天爵”。当号称“天空的立法者”的开普勒继哥白尼之后再次以数学证实了宇宙的简洁、和谐之后，他说：“献身天文学的人是多么幸福啊！他们淡漠世人庸俗的乐趣，上帝的杰作对他们来说是超乎一切的，而他们的研究将为自己带来最高尚的快乐。”
白云千载，天地悠悠。自罗马皇帝查士丁尼于公元529年关闭前后延续900年的柏拉图学园（时间皆为传说），15个世纪过去了。昔日的学园今日已无可凭吊，但那个由理念或抽象对象所构成的世界却并无半点毁损，依然璀璨幽杳、和谐完美。在这个尘世有朽的众生中，在这个或许明天末日就要来临的时间长河中，始终有那么一些以人生之中最好的部分来生活的人，他们能够用心灵之眼注目那上面的世界，他们能在我们这个可见世界中同时生活于多重世界中，他们因此而能把我们这有限、平庸甚至充满丑恶和苦难的世界涂上拉斐尔的色彩……他们多么幸运啊！毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里德、阿基米德、托勒密、哥白尼、伽利略、拉普拉斯、笛卡尔、莱布尼茨、牛顿、罗巴切夫斯基……每想到这些名字，我的眼前就展现出一幅更广阔的《雅典学院》的画面。他们仿佛群星一样闪耀在历史的星空，闪耀在那个由他们亲身参与、亲手搭建的数学宇宙中。
