如图3，线段AB表示树高，AC为落在地面部分的树影，CD为落在墙上部分的树影，BD为太阳光，过C作BD的平行线CE，交AB于E点，那么树高AB=AE+EB。
由前一个问题我们知道：
AE∶AC=1∶0.8，AE∶2.8=1∶0.8，
AE=2.810.8=3.5(米)。
同时，EB=CD=1.2(米)，所以树高AB=3.5+1.2=4.7(米)。
44.测堤面的坡度
俗话说，水火无情。为防止洪水危害村庄、农田、城市、工厂，有时需要沿河筑起拦洪大堤。大堤的横截面一般都是等腰梯形。如图所示，PQRS就是一个等腰梯形的横截面，角度α称为大堤的坡度。
如果大堤已修好，我们如何测出堤面的坡度呢？有人说，要测角度α太容易了，只要在大堤的底部打一个洞，量出PQ、SR及PS，再根据cosα=12·(PQ-SR)PS，角度α立即可以求得。但是，在堤下打洞，会破坏大堤，容易引发事故。那么怎样在不破坏大堤的前提下测出角度α呢？
如图，假设堤面与地面的交线是l，A为l上任意一点，过点A分别沿地面作AB⊥l，沿堤面作AC⊥l，这时α=180°-∠BAC。可见，只要求得∠BAC的度数，角度α就知道了。
要求∠BAC，我们可以过C、B两点拉直一根绳子，形成三角形ABC，则∠BAC是这个三角形的一个内角。用皮尺分别量出绳子BC及线段AC和AB的长，就可算出∠BAC。比方说，BC=a，AC=b，AB=c，那么，根据三角学中的余弦定理：
a2=b2+c2-2bccos∠BAC，得cos∠BAC=b2+c2-a22bc，很快可求出∠BAC。
所以，用上面所说的方法，既可以不破坏大堤，又能测出堤面的坡度。
45.在楼梯上铺地毯如何快速量出尺寸
某学校新建成一幢漂亮的图书楼，如果能在楼梯上铺上地毯，同学们会觉得大楼更整洁图1、舒适。然而，你知道如何快速量出所需购买地毯的长度吗？
你可能会说：“这个问题太简单了，只要把每级台阶的宽度和高度量一下，再把它们的值都加起来不就行了吗？”可是，请你想想，这样做是不是太费事了呢？
图1表示由几级台阶组成的一段楼梯，其中AB、BC分别表示这几级台阶的总宽度和总高度，只要量出AB和BC，再把它们的长度相加，得到的值就是所需地毯的长度。这是为什么呢？
先设想楼梯只有两级台阶，如图2所示，那么所需地毯的长度是折线ABCDE的长，如果分别延长AB、ED，用G表示两延长线的交点，你会发现：BC=GD，CD=BG，所以折线ABCDE的长度就是AG与GE的和，也是AF与FE的和。
图2图3
再把楼梯变成三级台阶，如图3所示。延长AB、GF，用I表示两延长线的交点。现在你可以马上说出所需地毯的长度是AH与HG的长度之和了吧。
依此类推，不论一段楼梯有多少级台阶，我们总能很快量出这段楼梯所需地毯的长度。
46.怎样把一个多边形木架固定住
如果将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，它的形状是不会改变的，这就是“三角形的稳定性”原理。
图1但是，如果像图1那样，用四根木条钉成一个四边形木架ABCD，它的形状可能要改变，这就是说，四边形没有稳定性。
图2要使这个四边形木架不活动，只要根据三角形的稳定性原理，用一根木条将它的一对顶点，比如说A和C连接起来，把它图3分成两个三角形就可以了。我们常可见到，在用木条做成的栅栏门上，斜着钉了一根木条，这样做就是为了使它稳固。
不仅四边形不具有稳定性，而且边数比4大的多边形都不具有稳定性。
如果有一个用木条钉成的凸六边形木架ABCDEF，如图2所示，你能否再钉上三根木条，使它不能活动呢？
有“三角形的稳定性”原理，这个问题就不难解决了。图3中的这些连接方法，都能使木架稳固不动。
实际上，还有其他方法，你不妨试一试，看还能怎样连接。
47.怎样使修路的费用最少
开发区里有两家大型的工厂，它们的位置如图所示，分别位于A点和B点。它们的产品都要先运到一条河边，在图上用直线XY表示，再通过船运出去。现在准备在河边建一个轮船码头，并且再修两条公路分别从两家工厂直通这个码头。这个码头应该选在哪一点，才能使修路的费用最小呢？
由于修路的费用与路的长度直接相关，要使修路的费用最小，也就是要使两条公路的总长最短。因此，化为数学问题，也就是如何在直线XY上选取一点C，使AC+BC最短。
现在我们应用数学知识，来解决这个问题。先从B点作一条关于直线XY的垂线，与XY的交点设为E，延长这条垂线至D点，使得DE的长等于BE。连接A、D两点，与XY的交点就是我们要求的C点。
下面我们来证明AC+BC最短。由于B点和D点是关于XY的对称点，所以从点B到XY上任一点的长度等于从D到这一点的长度，因而，从A点到XY上再到B点的总长，就转化为从A点到XY再到D点的长度，根据两点之间直线最短，可知AD是A到XY再到D的最短距离，也就是说AC+BC=AD是点A到XY再到点B的最短距离。
其实，对于许多实际问题，只要我们能找出其中的数学含义，便可以运用数学知识加以解决。
48.怎样估计池塘里的鱼数
在日常生活中，常常需要估计农作物等的产量，例如估计水稻的亩产等。常用的办法是先收割一小部分，如1分地(1亩=10分)的作物，测量出产量再乘以10，即得1亩地的产量。为了尽量减少误差，也常分不同地块收割几小部分的作物，测出产量后求平均值，再用平均值去估计总的亩产量。
水稻等作物的产量可以认为是均匀的，不同地块的产量相差不多，所以可以用上述方法进行估计。但若要估计某池塘里的鱼数，上述方法就行不通了。因为鱼在池塘里是到处游动的，且不同地方的鱼数也不一样，当然，也不可能把池塘里的鱼全部捕上来数一遍。那么，池塘里的鱼数到底是怎样估计出来的呢？
有一个巧妙的办法，先从池塘里任意捕一部分鱼，例如100条，做上记号后再放回池塘。过一段时间以后，可以认为这些做过记号的鱼游到了池塘的各个地方，或说均匀地分布在整个鱼群中。此时，再一次捕一部分鱼，例如50条，数出其中做过记号的鱼数，假设其中有两条鱼做过记号。现在，已知50条鱼中有2条做过记号，即做过记号的鱼数占全部鱼数的250。那么，(池塘里)总共多少条鱼中有100条是做过记号的？很容易计算出，
100÷(2÷50)=2500，
因此，池塘里总共有鱼约2500条。
同样，为了尽量减少误差，我们也可以分不同时间、不同地点多次捕出部分鱼来，数出其中做过记号的鱼数，计算其所占的比例，求出这些比例的平均值，然后再计算出池塘里总的鱼数。例如分5次捕鱼，每次做过记号的鱼所占比例分别为250、370、5100、380和475，经计算，
15(250+370+5100+380+475）≈0.0447，
100÷0.0447≈2237
所以，池塘里共有鱼约2237条。
49.车站应设在哪里
我们上学、上班或旅游购物，经常要乘坐公共汽车。有的人住得离车站比较近，有的比较远。那么车站究竟设在哪儿最好？它又是根据什么定出来的呢？
一个车站无论设在哪儿，总是不可能让每个人乘车都最方便，选择车站设置点的原则，就是要尽可能地使所有乘车的人总体上感到最方便。
我们先来看一个简单的例子：设一条公路边A、B两点各有一个工厂，每个厂每天分别有20人和30人要乘坐某路公共汽车上下班。现要在两厂之间设一个车站，试问车站设在什么地方最合适呢？要使所有乘车人总体上感到最方便，就是要使他们每天上下班走的总路程(从车站到工厂)最短。设A、B两厂相距a米，如果车站设在C点，离A厂x(0≤x≤a)米，离B厂a-x米，则工人走的总路程s为：
s=x20+(a-x)30=30a-10x。
要使s最小，x愈大愈好，而C点必须在AB之间，因此x最多为a，也即C点与B点重合，车站设在B厂门口最好。
从上面的例子可以看出，车站设置要尽量靠近乘车人数多的地方(B厂)。如果公路旁的工厂(或学校等)不止两家，解决的方法也是类似的。我们再来看一个较为复杂的例子。
假设公路旁有A、B、C、D、E共5家工厂，每天分别有25、30、20、17、20人要乘坐某路公共汽车上下班。问车站设置点F选在何处最佳。
计算方法是这样的：
先计算总的乘车人数P和P／2，
P=25+30+20+17+20=112(人)，P／2=56(人)。
再依次计算沿路各厂的累计乘车人数，并与P／2比较：
A厂人数25<；56，
A、B两厂人数：25+30=55<；56，
A、B、C三厂人数：25+30+20=75>；56。
A厂乘车人数少于总乘车人数的一半，也就是说A厂乘车人数少于B、C、D、E四厂的乘车人数总和，故车站要靠近B、C、D、E一方；同样，A、B两厂乘车人数少于总乘车人数的一半，故车站要靠近C、D、E的一方；而A、B、C三厂乘车人数多于总乘车人数的一半，所以车站又要靠近A、B、C三厂的一方。综上所述，车站既要靠近A、B、C三厂的一方，又要靠近C、D、E三厂的一方，因此设在它们公共的一点C点，即车站设在C厂门口最佳。
50.向2逼近的梯子
古希腊人发现了用毕达哥拉斯定理作出无理数长度的方法。他们利用内接和外切正多边形以及无穷大和极限的概念来逼近圆的面积。他们还想出一种运用比率的梯子算术来求出无理数的近似值。这里介绍如何用这方法求2的近似值。
梯子同一级上两数的比值就含有比率1∶2，让我们把这个比率挤出来。事实上，这些比值越来越近于1/2。它们的极限就是1/2的值。
注：梯子每级上的两数是方程y2-2x2=±1的解。x值是梯子左列的数。1/2=0.707106781…
1/1=1
2/3=0.666…
5/7=0.71428571428…
12/17=0.70588235294…
29/41=0.70731707317…
70/99=0.7070…51.中国的弦图
能翻译中国古书的专家是很难找到的。能翻译与数学思想有关的中国着作的专家就更加难找了。这就是关于中国数学题材的例子较少的原因。弦图，
在下左图中，内正方形的面积被标明为55或52＝25平方单位，这正方形被分面面积为（1/2）（34）的4个直角三角形和面积为11的一个正方形，共计25平方单位。在下右图中，同一正方形被分成两个较小的互相交叠的正方形，一个是33，另一个是44。它们的交叠部分与55正方形中没有被它们占据的空余部分面积相同，这说明大正方形的面积（52）等于两个小正方形的面积即32与42的和。
是中国数学家运用几何和算术工具获得代数结论的技巧。附图采自中国古书《周髀》。《周髀》的年代是有争议的，可能范围是从公元前1200年到公元100年。如果公元前1200年是准确的，那末它就是现在所知道的对于毕达哥拉斯定理的最早证明之一，比毕达哥拉斯及其信徒们的时代更早。在整个历史上，毕达哥拉斯定理曾经出现在众多文明之中。在建筑上，它是保证作成直角的一种方法。在数学上，这个定理曾经是并且至今仍是贯串许多数学学科的一个不可缺少的工具。
两个阴影矩形面积的和等于小阴影正方形（由两个交叠正方形造成）的面积。令5、4和3为变量c、b和a的值，从而证明a2+b2=c2。这个图说明正方形的面积如何通过那4个三角形和中间单位正方形面积的相加而求得。一般地，它证明了
c2=4(1/2)ab+(a-b)2=2ab+(a2-2ab+b2)=a2+b2。
52.欧几里得对素数无穷的证明
看来人们在正整数领域走得越远，素数将变得越来越稀少。人们可能想，因为它们出现的频率越来越小，它们或许将在某处终止。早在公元前约300年时，欧几里得第一次证明了素数是无穷的。他用的是如下的间接论证：
设n代表最后一个素数。
现在，从所有素数直至并包含最后素数n的积得出数235711……n。
将这个积加1，称这数为k。k=235711…n+1。
k是素数！假使k不是素数，那末我们用来得出上述积的素数表中一定漏掉了一个素数。我们知道2，3，5，7，11，…，n都不能整除k，因为我们每一次用2，3，5，7，11，…，n中的任何数来除时，总余下1。因此k必然是一个新的素数。所以素数是无穷的。
作为数学中的花絮——在1至1000之间有168个素数，在1000至2000之间有135个，2000至3000间有127个，3000至4000间有120个。
