帕普斯定理：设A、C、E是一条直线上的三个点，B、D、F是另一条直线上的三个点。如果直线AB、CD、EF分别与DE、FA、BC相交，则三个交点L、M、N共线。
进位制的发现
人类在认识数字的同时，也进行着对数字记法的探索。中国早在五六千年前就有了数字记法，到3000多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的数字已十分常见，这时，自然数计数都采用十进位制。甲骨文中就有从一到十、百、千、万的13个记数单位。
对于任意大于1的整数p，每个自然数都可以惟一地写成a、pn+an1pn-1+…+a1p+a0的形式，其中a0、a1…an-1、an是在0、1、2…P中取值的整数。于是就可以用（anan-1…a1a0），来表示这个自然数，这种表示自然数的方法称为p进制记数法。当p=2时，就得到二进制记数法；当p=10时，就是十进制记数法。
在二进制中，只有0、1两个记号，遵循逢二进一的规则。机械式计算机的创始人莱布尼茨系统研究了二进位制，其中曾受到中国古代八卦的启发。下表说明了二进制与我们通常所用的十进制的关系：
十进位制12345678910…二进位制11011100101110111100010011010…计算工具的发明俗话讲“巧妇难为无米之炊”。要提高运算速度和精确度，必须借助于相应的计算工具。
小时候学习算术，学生们经常用十指来帮助计算，手指成为最简单易用的计算工具。实际上，用十指计算从人类认识数开始就已经有了。除了用手指帮助计算，传说古代的中国也用在绳子上打结来记数和计算，史称结绳记数。算筹是中国古代用于计算和占卜的重要工具，算筹有竹制、木制和骨制的。利用算筹，古改进后的算盘代中国人最先创立了完善的十进位位值制记数法，这是古代中国在数学上的重要发明之一。算盘并不是中国独有的，日本和俄罗斯都有与中国类似的穿珠算盘。算盘实际上是对算筹的改进，由于汉字一字一音，珠算规则易于编成口诀，这大大加快了运算的速度。时至今日，算盘在很多场合仍然显示出它独有的魅力。计算器实际上是功能比较简单的计算机，它的发展可以追溯到17世纪，但电子计算机到20世纪中叶才出现。近几十年来，以现代计算机为代表的计算工具已经发展到了很高的水平。计算机已远不止是用于简单的计算，它已经能够做很多复杂的事情，并不断渗透到生活的各个方面。
数学悖论的发现
一般而言，数学给人的印象总是严密和可靠的。但早在2000多年前的古希腊，人们就发现了一些看起来好像正确，但却能导致与直觉和日常经验相矛盾的命题，这些自相矛盾的命题就被称为悖论或反论，即如果承认这个命题，就可推出它的否定，反之，如果承认这个命题的否定，又可推出这个命题。
约公元前5世纪的古希腊哲学家芝诺提出了4个著名的悖论。第一个悖论说运动不存在。理由是运动物体到达目的地之前必须先抵达小点。也就是说，一个物体从A到B，永远不能达到。因为要从A到B，必须先达到AB的中点C，为达到C必须先达到AB的中点D，等等。这就要求物体在有限时间内通过无限多个点，从而是不可能的。第二个悖论说希腊的神行太保阿希里永远赶不上在他前面的乌龟。因为追赶者首先必须到达被追者的起点，因而被追者永远在前面。第三个悖论说飞箭静止，因为在某一时间间隔，飞箭总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容与前者基本上是相似的。芝诺悖论在数学史上有着重要的地位，有人将它看成是第二次数学危机的开始。无理数的发现，被认为是第一次数学危机，并由此导致了实数理论、集合论的诞生。
英国著名哲学家、数学家、逻辑学家罗素（1872年～1970年）讲这样一个故事：有一个村庄的理发师立下了“只为所有不自己理发的人理发”的规矩。于是有人问他：“理发师先生，您的头由谁理呢？”这可难住了理发师。因为从逻辑上讲有两种可能性，自己给自己理或请别人给自己理。但若自己给自己理，那就违背了立下的规矩；如果请别人给自己理，那他自己就成了“不自己理发的人”，按照规矩，他应该给自己理发。无论怎样都和自己的规矩相冲突。看来这位理发师真是遇到难题了。这就是罗素于20世纪初提出的著名的理发师悖论，或称罗素悖论。罗素悖论标志着第三次数学危机的开始，由此导致了对数学基础的广泛讨论。实际上，与罗素悖论本质上完全一样的说谎者悖论早在公元前4世纪就由古希腊数学家欧几里得提出，即“我正在说的这句话是谎话”。这句话到底是真话还是谎话呢？这也是一个无法自圆其说的论题。
对于数学悖论的研究，推动了数学的发展，同时也使人们认识到尽管数学是很严密的，但它的真理性却也是相对的。只有不断去探索、去研究，才能更好的发现真理、掌握真理，真正理解世界的涵义。
自然数的发现
在数学的浩瀚海洋中，人们最熟悉的恐怕就是自然数了。人们一般把1，2，3，4…称为自然数。学校中最基础的数学分类是质数（又叫素数）与合数。自然数中只有能被1与它自身整除的数称为质数，比如2、5、7等。
质数就像建筑上用的砖一样，它是数论中的基石。许多数学家倾注了大量心血，甚至终身对它进行研究。我们注意到，似乎自然数越大，则同它相邻的自然数中质数越少。那么，质数到底有多少个呢？古希腊数学家欧几里得用反证法很巧妙地证明了“质数有无穷多个”。
刘徽发明“重差术”
刘徽是我国三国时代的魏国人，可能是山东人。他曾从事度量衡考校工作，研究过天文历法，但主要是研究数学。
刘徽自幼就学习《九章算术》，对该书有独到的研究，他不迷信古人，对《九章算术》中许多问题的解法不满意，于公元263年完成了《九章算术注》，对《九章算术》的公式和定理给出了合乎逻辑的证明，对其中的重要概念给出了严格的定义，为我国古代数学建立了完备的理论。
刘徽创造了一种测量可望而不可即目标的方法，叫做“重差术”。重差术也叫“海岛算经”，附在《九章算术》之后，共有九个问题。
刘徽说：“凡望极高，测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也。”这段话的意思是，重差用于测不可到达物的距离。用两次测量之差，再利用相似比来进行计算。
“海岛算经”的第一个问题是“测海岛高及距离。”题目原文是：
