测量太阳高度古人很早就知道，用小小直角尺（矩）可以量出相当高的高度。他们把角尺直立在水平位置上，对准要测量的物体，使物体的量高点与角尺两边上的两点成一直线，用相似直角三角形对应边成比例的性质，就可以把物体的高度算出来了。这里的条件是：直尺的直角点到物体垂直于水平面的线的距离是能够用尺直接测量出来。
两千多年以前，汉代的天文学家把这种方法推广到计算太阳的高度，这是古代一个十分有趣的天文问题，也是一个很有意义的数学问题。我们现在知道，太阳与地球是宇宙中两个椭圆形的天体，它们之间的平均距离有14960万公里。可是古代的人想知道太阳的高度有多少，他们又是怎样去测量的呢？
原来，那时有的天文学家，认为天是圆的（指球形），地是方的。地球是一望无际的平地，挂在天空中的太阳，尽管一年四季千变万化，但在特定的时间和地点，它的高度是可以测量计算的。于是，这些天文学家用一根八尺长的标竿（p），选定夏至这一天，在南北相隔一千里的两个地方（A，B），分别测出太阳的影子长度（m，n）。设太阳离地面的高度为h+p，A点到太阳在地面的垂足的距离为d，根据相似直角形对应边成正比例的性质，得：
hp=dm（1）
hp=d+ABn（2）
解方程组得：
h=p×ABn-m（3）
汉代的天文学家认为，北面B点的影长n与南面A点的影长m恰恰相差1寸。因此，n-m=1寸，p=8尺，AB=1000里，代入（3）式得h=8尺×1000公里01尺=80000里将80000里再加上标竿的长度8尺，便是太阳离地面的高度（当然，这个结论是不符合实际的）。从（3）式中我们知道，h的高度等于北面影子与标竿长之比减去南面影子与标竽长之比去除南北两点间的距离。同样，用这两个比值的差除以南面影长，使得到A点到太阳在地面的垂足的距离。因此，南北两点的距离确定以后，太阳离地面的高度主要决定于标竿影长与标竿长的两个比值之差。但是，因为他们假设地面是平的，不符合实际情况，因而得出错误的结果。然而，我国古代这种数学方法是正确的，汉代天文学家把这种计算方法称为“重差术”。公元第三世纪大数学家刘徽，系统地总结了这种办法，写成专门的一章，也是叫作“重差”，附在古代数学名著《九章算术》之后。唐代初年，国子监整理出版古代数学著作时，把这一章作为《算经十书》之一，单独发行。因为它第一个问题是测出一个海岛的高度和距离，所以又把它称为《海岛算经》，这本书一直流传到现在。
地球的丈量
根据牛顿有关引力的理论，可以推想出来，地球并不是一个纯粹的圆球体，而应该有点像橘子那样，是个中间宽，两头扁的球状体。换句话说，由于离心力的作用，地球在赤道上的直径要比两极间的直径要长。也就是说，两极的每一纬度间的距离要比赤道附近每一纬度间的距离要大。
为了证实这一理论，法国政府于1735年组织了两次考察。考察队的任务是通过对子午线弧度的测量，精确地计算出地球的形状和大小。第一支考察队，由拉康达明率领，他们在深入到位于赤道附近的秘鲁安第斯山区时遇到了许多困难。两年后，第二支考察队由马保梯率领，去了北欧拉普兰地区，那是当时欧洲人所能到达的最靠近北极的地区。由于恶劣的气候条件和仪器的敏感度很高，这两次考察不仅耗费时日，而且历尽周折。但是，在历时数年的艰苦工作中，他们所收集到的数据和得出的计算结果证实了牛顿的想法。北极附近的一个纬度间距要比赤道附近的一个纬度间距长1％。赤道部位的地球要比两极部位的更圆。今天我们知道，赤道区域的海平面要比两极地区的海平面离地球的中心远21千米。
经度的测量
许多世纪以前，航海家们已经懂得如何测量纬度（赤道到地球南北任何一点的距离）。为此，他们只要测量出太阳在某地的最高点或北极星的位置，再算出它们与天顶的距离就可以了。但是，只有知道某一点与出发港口的确切距离（无论是向东或向西），才有可能计算出经度，而这一点在那个时代决非易事。
1714年，英国政府宣布，谁能找到确定海上航行船只确切位置的方法，就奖励他两万英镑。英国人哈里森是一位木匠和手工艺人。从1728年开始，他制作出了好几只适合在船上使用的计时器，一只比一只更轻便、更精确。1739年，他又制作出了第一只适合远洋航行用的计时器，但有点复杂，也不十分精确。又经过多年的研究和试验，终于在1761年建造了一只相当精确的计时器，用它计算出来的经度只有几海里的误差。这只计时器有一个用几种不同金属制成的内置平衡装置，它既可抗御船只的颠簸，又能适应温度的变化。但是，哈里森还必须对他的计时器进行多次试验，成功以后才能获得悬赏。1762年，在一次从英国到加勒比海的巴巴多斯的航行中使用了这个计时器。航行历时5个月，哈里森的计时器只慢了15秒。但是，10年以后，英国政府才给哈里森颁发了奖金。这只计时器的出现开辟了航海事业的新纪元。从此，在海上航行的船只可以知道自己的确切位置，并有可能绘制出更加精确的航海图，为找到更加快捷的新航线提供了可能。
先抽签后抽签哪个中奖机会大
我们常会碰到这样的问题，10个人抽一个奖，应该说每人获奖的概率是一样的。但有的人认为，先抽合算，后抽不合算。现在我们来分析一下：
第一人抽着奖的概率是110，抽不着奖的概率为910；第二人抽时只有9个签，有两种可能：①第一人已抽着奖，第二人抽着奖的概率应是110×09=0；②第一人未抽着奖，第二人抽着奖的概率应是910×19=110。
所以第二人抽着奖的概率为：
P=110×09+910×1〖〗9=110
因此，第二人抽签，不管第一人是否抽到奖，他抽到奖的概率仍是110。
第三人去抽签时还有8张签，也是两种情况：
①前面两个人中已有一个抽着奖，第三人抽着奖的概率应是（110×09+010+19）×08）=0②第一、二人都未抽着奖，而第三人抽着奖的概率应是：
910×89×18=110
所以第三人抽着奖的概率为：
（110×09+010×19）×08+910×89×89×18=110因此，不管第一人，第二人是否抽着奖，第三人抽着奖的概率仍为110，所以10人抽签不管先抽还是后抽，抽着奖的概率是一样的，机会是一样的。
怎样让客人等吃饭的时间最少
星期天，家里来了客人。爸爸妈妈留客人吃饭，准备烧四个菜、一个汤、两个冷盘。你算算需花多少时间。
取米淘米3分钟，烧饭10分钟，闷饭6分钟，炒菜（甲乙丙菜）各要4分钟、5分钟、6分钟，清蒸菜10分钟，烧一锅汤要10分钟，每次洗锅要05分钟，每次盛菜到碗里要1分钟，盛饭配碗筷要2分钟，配制两冷盘各要5分钟、4分钟。这样，大约一个小时以后，客人可以吃饭。
3+10+6+4+5+6+3×05+10+10+3+2+5+4=695分钟。
如果我们作一个统筹安排，烧饭用电饭锅，烧菜分两只锅炒，先取米淘米烧饭，同时烧汤、配冷菜、清蒸等。可以同时用两只锅炒菜，如下图安排：
这样的话，我们实际用了：3+10+10+5+5+2=30.5分钟，让客人少等半个多小时就能吃到饭。
购买奖券时买连号的好还是不连号的好
日常生活中我们常可见到各种各样的奖券、彩票，比如体育彩票、社会福利彩票、有奖储蓄奖券等等。购买奖券时到底是买连号的好还是买不连号的好？到底哪一种中奖机会大呢？
我们先来看一个简单的例子。设有某种奖券，奖券号末位是0的就中奖，中奖机会（概率）是10％。现购买两张奖券。如果购买连号，则两张奖券的奖券号末位共有10种可能，分别是（0，1），（1，2），（2，3），……，（9，0），且每一种情况出现的可能性（概率）是一样的，而其中只有（0，1）及（9，0）两种情况下，会有一张奖券中奖，因此，总的中奖概率为20％，平均中奖次数为1×20％=02次。如果不买连号的而任意购买两张奖券，则两个末位号有以下100种可能，同样每种情况出现的概率相同，各为1％，（0，0），（0，1），（0，2），……（0，9）（1，0），（1，1），（1，2），……（1，9）……（9，0），（9，1），（9，2），……（9，9）。
在这100种情况中，只有在（0，0）一种情况下，所购买的两张奖券都中奖，因此概率是1％；而在（0，1），……，（0，9）及（1，0），……，（9，0）共18种情况中，有且只有一张奖券中奖，概率为18％；在其余情况下，所购买的两张奖券均不中奖。因此，总的中奖概率为1％+18％=19％，比购买连号时20％小了1％，但平均中奖次数为2×1％+1×18％=0.2次，与购买连号时一样。因此我们说，购买连号或不连号的两种情况下，平均中奖次数（机会）是一样的。
如果购买三张奖券，计算也与前面类似。购买连号的时候，中奖概率是30％，平均中奖次数是0.3次。购买不连号的时候，三张奖券都中奖的概率是0.1％；有两张奖券中奖的概率是2.7％；只有一张中奖的概率是24.3％。总的中奖概率是27.1％<；30％。此时，平均中奖次数为3×0.1％+2×2.7％+1×24.3％=0.3次，仍与买连号时一样。事实上，无论购买几张奖券，两种购买方式的平均中奖次数都是一样的。
再把这个例子改一改，设末位奖券号为0时中二等奖，末两位奖券号为00时中一等奖，且不同奖项可兼中兼得。假设仍然是购买两张奖券，前面已计算过，无论采用哪一种购买方式，中二等奖的平均次数是一样的。类似的可以计算出，购买连号奖券时，中一等奖概率为2％，平均中奖次数为0.02次。购买不连号奖券时，两张都中奖的概率是1％×1％=0.01％，只有一张中奖的概率是1％×99％+99％×1％=1.98％，因此总的中一等奖的概率为1.99％<；2％。中奖次数为2×0.01％+1×1.98％=0.02次，两种购买方式的平均中奖次数仍然是一样的。
总而言之，无论奖项分几个等级，无论每个奖项的中奖概率是多少，也无论购买多少张奖券，购买连号的或不连号的，总的中奖概率可能不同，但平均中奖次数总是一样的。
用淘汰制进行的比赛场数的计算
如果你所在的学校要举办一次象棋比赛，报名的是50个，用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？一共赛几轮呢？如果你是比赛的主办者，你会安排吗？
因为最后参加决赛的应该是2人，这2人应该从23=8人中产生的。这样，如果报名的人数恰巧是2的整数次幂，即2、4（22）、8（23）、16（24）、32（25）、……，那么，只要按照报名人数每2人编成一组，进行比赛，逐步淘汰就可以了。假如先报名的人数不是2的整数次幂，在比赛中间就会有轮空的。如果先按照2个人一组安排比赛，轮空的在中后阶段比，而中后阶段一般实力较强，比赛较紧张，因此轮空与不轮空机会上就显得不平衡。为了使参赛者有均等的获胜机会，使比赛越来越激烈，我们总把轮空的放在第一轮。例如，上例的刃在32（25）与64（26）之间，而50-32=18。那么，第一轮应该从50人中淘汰18人，即进行18场比赛。这样参加第一轮的18组36人，轮空的有14人。第一轮比赛后，淘汰18人，剩下32人，从第二轮起就没有轮空的了。第二轮要进行16场比赛，第三轮8场，第四轮4场，第五轮2场，第六轮就是决赛，产生冠军和亚军。这样总共进行六轮比赛，比赛的场数一共是：18+16+8+4+2+1=49，恰恰比50少1。
我们再来看看世界足球赛的例子。98法国世界杯赛共有32支参赛球队，比赛采取的方式是先进行小组循环赛，然后进行淘汰赛。如果全部比赛都采用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？32正好是25，因而总的场数是16+8+4+2+1=31，也是比32少1。
不妨再从一般情况来研究。如果报名的人数为M人。而M比2n大，但比2n+1小，那么，就需要进行n+1轮比赛，其中第一轮所需要比赛的场数是M-2n，第一轮比赛淘汰M-2n后，剩下的人数为M-（M-2n）=2n。以后的n轮比赛中，比赛的场数为：
2n-1+2n-2+2n-3+…+23+22+2+1
=（2n-1+2n-2+2n-3+-23+22+2+1）×（2-1）
=（2n-1+2n-2+2n-3+…23+22+2+1）
=2n-1
所以，一共比赛的场数是（M-2n）+（2n-1）=M-1，即比参加的人数少1。
其实，每一场比赛总是淘汰1人。在M人参加的比赛中，要产生1个冠军就是淘汰M-1人，所以就得比赛M-1场。你明白了吗？
