算學捃華百篇
任測一恒星欲 定北極度其法若何
汪鳳藻
* 圖略
如圖甲己乙丙子午 圈甲乙為地平丙為天頂丁為所推之北極則戊己為赤道任測一星如子 欲定北極出地度法先測得子庚赤道北緯度戊庚星距午線赤道經度及 子辛高度乃取丁子丙斜弧三角形用垂弧法作子丑垂弧 高弧交地平點近子點則垂弧在形內出地度少近午點則垂弧在形外出 地度多分原形 為丁子丑子丑丙二正弧三角形有丁子弧 象限減北緯子 丙弧 象限減高度丁 角 即戊庚赤經度 及丑直角先求子丑垂弧次求丁丑及丑丙二弧相加得丁丙以減丙甲象 限餘丁甲即所推北極出地度
金星二百二十 五日一周某日與地同行試推須俟若干日復 [ 與 地同行]（推北極出地度 ）
蔡錫勇
答曰五百八 十四日又五分日之二
按金星繞日一周為 地球繞日一周八分之五乃有比例
一率 八五
二率 三六五 四之一
三率 一 四率 五八四 五之二
地距日一萬二 千地徑求所受光熱有幾分
馬呈忠
答曰二十三 億零四百萬分之一
法以天球面積除地 球面積即得
* 算式略
以地徑為一日 徑為百零六日距地一萬二千月距地三十當月食推地影尖距月若干 遠
貴榮
答曰八十四 又七分之二
* 圖略
如圖甲乙為日徑丁 戊為地徑壬辛為月徑丙己日距地一萬二千 兩心相距己子 月距地三十兩 心相距命己丑 為天乃有等數
* 算式略
求得己丑一一四又 一0五之三0 約之得一一四又七分之二內減己子月距地三 0餘子丑八四又七分之二為地影尖距月之度
已知月地距測 日食東西視差以推日地距其法若何
楊兆鎣
* 圖略
如圖甲乙為地面二 測處丙為月人在甲見月在日面丑人在乙見月在日面子法先測兩處月 過太陽面出入時刻以二處時刻之較變為角度量得子甲丑或子乙丑視 差角又以甲乙二處距弧求得通弦甲乙而甲丙等乙丙皆為地面距月 心故有甲乙丙三角形有三邊求得丙角與半周減得甲丙子角既得甲丙 子角即可得丙子甲角乃以子角正絃與甲角正絃比若甲丙月距地與丙 子月距日比得丙子加 [ 乙 ] 丙即日地距
測月地距其法 若何
王宗福
* 圖略
如圖子為月甲為地 面測處心為地心心子甲角為視差角乙為天頂子甲乙角為月距天頂角 其外角為子甲心角法用心甲子三角形有三角及甲心邊 地半徑求得子 心邊即月地二心距也
日月二視徑相 等以何法測其真徑
徐廣坤
法以半徑為一率地 心距日月心為二率視角 即地心視日月以日月半徑為對邊之角 正弦為三率求得四率倍 之即日月真徑
* 圖略
如圖甲為日心甲丙 為日半徑乙為地心乙甲為地心距日心之遠自乙視甲成甲乙丙三角形 乙角可測而知丙為直角求甲丙邊有比例
一率 半徑
二率 乙角正弦
三率 甲乙邊
四率 甲丙邊
求得甲丙為日真半 徑倍之得日徑測月
同置閏之法與 理試詳言之
陳壽田
考之閏者日月不齊 之數聖人立四仲中星以定之在璿璣玉衡以齊之職此之故乃參贊化育 之道調燮四時之理不可不慎也蓋其法以歲實三百六十五日四分日之 一太陽每日行天一度太陰每日行天十三度十九分度之七以定三年 一閏五年再閏十九年七閏萬古不易之理也今以法計之以每日日行一 度與月行十三度十九分度之七相減餘十二度十九分度之七為一日之 月距日度用通分法通為二百三十五分為法以周天三百六十五度四 分度之七亦通為六千九百三十九分小餘七五為實以法除實得二十九 日二百三十五分日之一百二十四小餘七五約為二十九日九百四十分 日之四百九十九小餘七五為朔策乃以每歲三百六十日與歲實三百六 十五日四分日之一相減餘五日四分日之一通為五日九百四十分日 之二百三十五為一歲之氣盈以朔策二十九日九百四十分日之四百九 十九與三十日相減餘九百四十分日之四百四十一為一月之朔虛以十 二月乘之得五千二百九十二分以九百四十分收之得五日九百四十分 日之五百九十二為一歲之朔虛乃以一歲之氣盈朔虛日數相併得十 日九百四十分日之八百二十七即一歲之閏率遞加之得逐歲之閏率視 某歲某月無中氣即可定閏月也此即置閏之法至於其理乃氣盈朔虛所 積 [ 而 ]（面） 成何謂氣盈氣中氣也盈 有餘也朔月與日會光盡而復蘇也虛不足也夫歲有十二月月有三十 日三百六十日一歲之常數也太陽行黃道一周日與天會則三百六十五 日五時三刻三分奇較常數多五日五時三刻三分有奇是謂氣盈 此係用時刻分與前同以周日分之得前法之氣盈 月與日會一月則二十九 日十二時二刻十二分有奇若十二會三百五十四日三刻三分有奇較常 數少五日十五時十一分奇是為朔虛是以置閏必以氣盈朔虛為主然 三年何以一閏因尚不足以盡餘分五年再閏則又太過須至十九年七閏 其閏餘已足朔策之七倍則氣數分齊乃為一章其數有常而不變此皆以 平行言之也今節氣合朔皆日用之實行以無中氣之月為閏月 凡閏月必准一節氣 日有盈縮月有遲疾其節 氣合朔有進退故置閏之遠近較平行復有參差然至十九年則盈縮遲疾 已過數周合而計之實行與平行之數亦得近合矣
有半球體求重 心
王鍾祥
* 圖略
如圖子丑寅為半球 體作丑子丑寅二線成丑子寅圓錐形取丑辰四分之一午點為圓錐重心 既得圓錐重心以反比例求之即得半球之重心有比例如左
一率 半球體積
二率 圓錐體積
三率 圓錐重心
四率 半球體重心
半周有質弧線 求重心
王宗福
* 圖略
如圖甲丙乙為半周 有質弧線丙心為半徑半徑自乘以象限周除之得重圓二心距丁心丁點 即重心
* 算式略
有半圓面截去 六十度截線正交圓徑求殘積之重心
王宗福
* 圖略
如圖甲丙乙半圓面 丙乙六十度丙丁正交甲乙徑求甲丙丁殘積之重心先作心丙半徑將殘 積分為甲心丙丙心丁二分丙心丁句股之句為半徑之半求得丙心丁之 重心為卯復求得半圓重心比例得一百二十度甲心丙積之重心如子 作子卯線甲丁丙積與丙心丁積比若子卯與子丑比丑即所求重心
有端硯一塊長 一尺寬五寸厚二寸作一圓池距三邊各五分深一寸二分求重心距各邊 若干
博勒洪武
* 圖略
如圖甲乙丙丁為硯 丙戊庚丁甲乙庚戊二正方相等壬子圓池圓距丙戊丙丁丁庚三邊皆五 分法先求得壬子積與丙戊庚丁積相減餘三二四 八甲乙戊庚積亦為五十方寸則有比例 如左
一率 共積
二率 共長
三率 丙戊庚丁殘積三二四八
四率 丁心一九
求得丁心一九則距 甲乙邊三寸四分強距丙丁邊六寸六分距甲丙乙丁皆二寸五分
有杠桿長二十 七尺以人力百斤欲移動千二百五十斤之石試推其倚所當在何處
杜法孟
答曰距石二 尺內
* 圖略
法以力重相加為一 率桿長為二率力為三率求得四率得倚所
有鐵錘四其重 如三四五六之數按次分懸於直桿每錘相距一尺試求定點
楊兆鋆
* 圖略
如圖甲乙丙句股面 取甲乙句三分之一於丁甲丙股三分之一於戊各作垂線丁己戊庚交點 心即句股面重心切心點正交乙丙作線辛壬作辛點為合弦平地平之點 而戊辛等甲丁戊心辛與本形同式故比例如 句與戊心 句三之一一相 乘股除之得戊辛以加戊丙得辛丙 大分減甲戊得 甲辛 小分又法用心 庚己形求之有等式
* 算式略
求得辛丙即大分減 股得小分
有句八股十五 句股面於弦取二點令懸之一句平如地平一股平如地平其法若何
席淦
* 圖略
如圖先求句股重心 甲自甲作句股之垂線引長至懸弦於丙辛二點則句股合地平丙己為弦 三之一辛己為弦三之二何也甲丁為庚丁三之二乙丁必為戊丁三之二 丙乙與戊己平行丙丁必為己丁三之二而丙己必為三之一又己甲為 己癸三之二己壬必為己戊三之二辛壬與丁戊平行則辛己必為丁己三 之二 丙己五六六六六辛己一一三三三三
有囗膛徑尺五 若以鐵較水重八倍求其囗子輕重若何
貴榮
法以方圓邊線相等 體積不同定率立方一九 九八五九三一七為一率球積一為 二率膛以一五自乘再乘得三三七五為三率求得四率一七六七寸又一 九 九八五九三一七之二七八五八六八六一為球積再以水每方尺率 七十六斤化為一千二百一十六兩以一千寸除之 得每方寸十二線又二十五分之四以乘球積得二一二 四再八倍之得 一六九六三二以十六 除之得一千六百斤強即囗子重
有鎗子向上直 放二十秒始落求其升高若干並作圖明其理
文續
答曰一千六 百尺
法以二十秒折半自 之得一百以初秒所過之路十六尺乘之得一千六百尺即所求之高
* 圖略
如圖甲乙丙三角形 甲乙等縱線為時乙丙等橫線為速十秒內所過之路即為甲乙丙三角形 積
有物下墜數秒 而末秒之路為全路三分之一試求其秒數
時永清
答曰七秒又 一七八二
二方根為一四一四 二三方根為一六四三 一兩根較為二二八九乃有比例
一率 兩根較 二二 八九
二率 三方根一六四三一
三率 一秒
四率 七秒又一七八二
* 圖略
如圖甲乙丙為全路 積甲丁戊積為三分之二戊丁乙丙積為三分之一甲乙為共時丁乙 為一秒甲乙丙積與甲丁戊積比若三與二比甲乙丙積與甲丁戊積比 又若甲乙方與甲丁方比即三與二比若甲乙方與甲丁方比亦即三方根 與二方根比若甲乙與甲丁比故三方根二方根較與三方根比若甲乙甲 丁較之丁乙一秒與甲乙共時比
有一囗其最遠 界二十里移於高山頂高出平地四十里下測一敵營須用四十五度方向 方能及之求營距囗若干遠
王宗福
答曰四十里
* 圖略
如圖甲為囗甲壬為 四十五度方向丑為拋物線頂點甲辛即山高丁為敵營丑未五與丙未方 一百比若丑未加己丁四五與己未方九百比得己三十即得甲己 [ 即]辛丁 距四十里
今有囗臺六百 九十七尺長對面有敵國兵船從此頭視之成角八十四度四十分從彼頭 視之成角八十六度三十分求船距二處及囗臺與船最近之處相距各若 干
楊樞
答曰船距此 頭四千五百三十一又距彼頭四千五百一十九尺囗臺與船最近之處相 距四千五百十一尺
* 圖略
先求乙角法以丙角 八十四度四十分與丁角八十六度三十分相併以減半周一百八十度餘 八度五十分為乙角度數
次求乙丁邊
一率 乙角正弦 九 一八六二八
二率 丙丁邊二八四三二三
三率 丙角正弦 九九九八一一
四率 乙丁邊三六五五 六
檢表得乙丁 邊四千五百一十九尺
次求乙丙邊
一率 乙角正弦 九 一八六二八
二率 丙丁邊二八四三二三
三率 丁角正弦 九九九九一八
四率 乙丙邊三六五六一三
檢表得乙丙邊四千五百三十一尺
末求乙戊中垂線
一率 半徑 一0000000
二率 丙角正弦 九九九八一一
三率 乙丙邊三六五六一九
四率 乙戊垂線 三六五四三0
檢表得四千 五百一十一尺即囗臺與船相距最近之處
今有兄弟三家 欲掘井使距各家維均甲乙相距二十丈乙丙二十二丈丙甲二十四丈試 推其井應在何處與距各家之遠近若何
左秉隆
答曰井與各 家相距十二丈五尺有奇
* 圖略
如圖以甲丙為一率 甲乙乙丙和為二率甲乙乙丙較為三率求得四率為底邊較三丈五尺與 甲丙相減半之為句以甲乙為弦求得股十七丈四尺餘為甲乙丙三角形 之中垂線次以中垂線為一率甲乙為二率乙丙為[三]率 求得四率二十五丈有奇為圓徑半之為井與各家相距數
今有弧矢田試 作一界線平分為二分
杜法孟
* 圖略
如圖丙乙甲弧矢田 先作乙甲直線自乙甲弧折半丁點至壬作丁壬小矢自壬至丙作壬丙線 以丁壬丙[為 界]（乙）即 分弧矢田為兩平分
解曰丁壬甲等於丁 壬乙自壬與乙丙平行作壬戊線與甲丙平行作壬辛線則成壬戊甲壬戊 丙辛壬乙辛壬丙四句股形等式等積甲壬丙乙壬丙皆得二句股積故等
又解曰丁壬甲等於 丁壬乙甲壬丙乙壬丙二三角形其底等甲壬 等於乙壬其高又 等 同以壬丙為高 故其積等
弧矢形內求任 作相切二圓其心俱在弧背其周俱切弦其法若何
楊兆鋆
* 圖略
法自大圓心作心甲 半徑取甲點作戊辛之垂線甲丙以甲為心甲乙為度作圓 乙即甲圓周切弦之一點 引長甲丙線至丁作丁甲 半徑 甲即甲圓心切弦之一點 自丁至戊作丁戊線割甲 圓周於己即二圓切點乃作甲己線引長至弧背得庚點即為庚圓心以庚 己為度作圓其切弦點為壬即丁戊線交弦之點也
三角內求作相 等相切六圓
懿善
* 圖略
平分三邊形之三邊 於一二三作乙一丙 二甲三三中垂線相交於丁平分丁甲一 角作分角線遇丁一線於子以丁為心以丁子為度度於二三兩線遇於丑與寅則丑子寅為所求之三圓心而子一為其半徑若過 子點作線與甲丙邊平行遇甲三丙二兩 線於卯辰又自卯與辰各作線與甲乙乙丙兩線平行則得又三圓心
有長橢圓體及 圓錐體橢圓短徑等於錐之底徑長徑等於錐高此二體和即等徑等高之 圓柱試解其理
蔡錫勇
* 圖略
如圖甲乙丙丁為圓 柱積其長甲乙 戊己丙丁並同 即戊己庚辛橢圓體之長徑戊 [ 乙 ]（己） 丁錐體之高其闊甲丙 庚辛乙丁并同 即橢圓體之短徑錐體之底徑夫渾圓本得同徑圓柱積三分之二錐體得 三分之一橢圓亦然今以甲丙短徑求得甲壬丙癸圓面甲乙乘之為柱 積三歸之為戊庚辛半橢圓積亦為戊乙丁圓錐積則戊庚己辛全橢圓積 必得圓柱積三分之二戊乙丁圓錐積必得圓柱積三分之一故相併即圓 柱積也
大球截積內求 所容相等相切三球
蔡兆熊
* 圖略
如圖子辰午為大球 截積子午為截積通絃己午為正弦取丑未倍己午作丑未寅等邊三角形 其中垂線寅己引長己申至卯今申卯等於半己申以卯為心寅為界截辰 卯線於酉則酉己為小球全徑乃於截積平圓內面以圓心己為心酉己 為邊作等 [ 邊 ]（趨） 邊三角其三角點即小球 切點也
又圖設三球心為乙 為丙為甲作三線相連成乙甲丙等邊三角形其心為戊丁為大球心作丁 戊丁丙成戊丙丁句股乃立小球半徑為天以代數求之
* 算式略
依式是三正絃為方 正字上大矢為長闊較開四個方得小球半徑三大矢為長闊較開一個方 為小球全徑寅己方三倍午己方己卯為半較得酉己即為小球徑
