有一封父亲写给儿子的信，那时麦克斯韦正在伯明翰准备参加剑桥荣誉学位考试，他当时和自己的同学约翰逊·展治(JohlIson Gedge)在一起，他的父亲是悉尼·展治(Sydney Gedge)牧师——当时正是爱德华学院的副院长。从这封信中可以看出，这时的麦克斯韦对技术已不感兴趣了，但对基础科学却发生了浓厚的兴趣。
2.爱丁堡的科学文化
1873年，麦克斯韦回忆起他早年喜爱规则的数学和曲线，把数学看成是探求和谐与美的形式：
“我总是把数学看成是得到最好形状和事物量纲的方法，即是说，它不光是最有用和最经济，而且更重要的是，它最和谐和最美丽”。
他早年对几何学的爱好很明显地表现在他写给父亲的一封信中(1844)。那时他才13岁，他对4面体、12面体和更多面体极感兴趣，他说：“我不知给它们起什么名字好。”
他研究数学的出发点是几何学。他的第一篇论文是对椭圆的力学描绘，这可能是由于几何形式和谐的美感启发了他。
1847年，他开始研究物理学，晶体所表现出的色彩效应使他十分惊奇。后来他把这些现象说成“颜色的绚丽纠缠”，这又一次表现出他对大自然的审美情趣。他一直对颜色的和谐十分着迷。大自然的壮美和谐与神秘，使小麦克斯韦对数学、物理学发生了浓厚的兴趣。
1845~1846年的冬天，在爱丁堡的文法学校，小麦克斯韦常常跟随父亲参加这里科学界举行的集会。他认识了大卫·拉姆齐·海，他是爱丁堡有名的装饰艺术家，从事几种研究，目的是把形式与颜色之美归结为数学的原则。正如海在他的著作中讲的那样：“视觉美分两种，第一种来自形式的和谐；第二种来自颜色的和谐。”他认为，颜色与几何形式之美相似于音乐中音符之美，因而可以用类似于音符和谐原则的数学原则来说明。
他关于颜色分类的专门用语后来被麦克斯韦采纳。海对构建完美的卵形椭圆的兴趣影响了麦克斯韦，使小麦克斯韦写出了他的第一篇数学论文：《画椭圆曲线的方法》。
海对曲线图形美学的兴趣来自他所从事的装饰艺术工作。
为了装饰的目的，他设计了一架能画完美卵形椭圆的机器。在他的《对称美的首要原则》(1846)这篇论文中，他讨论了用笛卡尔画椭圆的方法来画曲线的问题。虽然他没有讨论关于椭圆的数学，但他的方法与笛卡尔椭圆的数学性质是一致的，他画出了有两个、三个甚至五个焦点的椭圆。
麦克斯韦的父亲对儿子的科学兴趣大力扶持，努力创造主客观条件，使儿子的科学智趣不断发展成长，并促使儿子与詹姆士·大卫·福布斯建立关系。福布斯当时是爱丁堡大学的自然哲学教授，有丰富的自然科学知识。福布斯对小麦克斯韦的论文作了很高评价：“对他这么小的年龄来说，论文中提出的思想与方法是很杰出的、智巧的。”并把这论文让他的同事菲利普·凯兰（爱丁堡大学的数学教授）看。凯兰说：“这论文提出了考虑更多曲线多个焦点的新方法。”小麦克斯韦的这篇论文不仅提出了对椭圆进行描绘的智巧方法，而且还有数学上的重要价值。
在学校里，他和彼德·卡斯里·泰特交上了朋友，后来泰特成了麦克斯韦最重要的科学通信人。泰特后来回忆说，他们曾讨论过无数的奇怪问题，并经常交换手稿。这种交往提高了麦克斯韦的数学素养。后来他还系统地证明了椭圆的几何学的和光学的性质，他特别认真地读了笛卡尔关于几何学的论文。
1847年4月，麦克斯韦的叔叔约翰·盖伊带他和他的亲密学友路易斯·坎贝尔参观了爱丁堡实验光学家威廉·尼克尔的实验室，这给他留下了极为深刻的印象。从那之后，他开始做关于偏振光颜色效果的实验和一些别的光学实验，走进了华丽多彩的颜色世界，并开始阅读大卫·布鲁斯特（当时这方面的最高权威）的著作。正是苏格兰的光学界泰斗——海·尼克尔和布鲁斯特激起了他对颜色的兴趣和研究的热忱。
1847年秋天，麦克斯韦进入爱丁堡大学。这时，威廉姆·汉弥尔顿是他的逻辑课教师，福布斯是自然哲学教师，凯兰是数学教师。这三个人都是当时著名的教授，在各自的研究领域里，都有很高造诣。福布斯把他的班分成三部分。泰特（与麦克斯韦同时入学，但只呆了不长时间就去了剑桥大学）进了第一班，这个班需要学生有微积分知识。麦克斯韦进了第二班。1847~1848年福布斯特别重视数学，用它来研究气体力学、热与蒸汽机。他还讲天文学课。麦克斯韦在数学上活跃起来了。1848年他向凯兰提交了一篇关于分析几何的论文，对滚动曲线理论提出了自己的看法，这时他才17岁，但已经显示出他成年的风格，这篇论文全面地把握了这个课题的内容，涉及到历史的与现实的广泛方面，并有自己独到的见解。
1848~1849年，他仍然听数学课，并听汉弥尔顿的形而上学课，它培育了他终生对哲学的兴趣。现在他进入了福布斯的第一班，在此期间福布斯主要研究力学，同时也注意到固体的性质、热物理学、光学等。这个班的学生们研究布瓦松的力学，乔治·B.爱利对光的波动说的解说是19世纪20到30年代物理学中最主要的发明。福布斯在剑桥教书时注意到这一点，并用数学的方法研究光的波动理论。
在爱丁堡学业结束时，麦克斯韦集中精力研究偏振光的颜色效应。他当时雄心勃勃，求助固体的弹性理论提出了对光的弹性效应的解释。他研究弹性可能是受到福布斯关于物体延展性论文的影响，他做了大量弹性实验，测量了棒条与金属丝弹性系数，对水的可压缩性限定进行了认真思考，这个问题引起了一些人的注意，特别是引起福布斯的注意（他在1848年的一篇论文中与威廉姆·汤姆逊讨论了这一问题，当时汤姆逊是格拉斯哥大学的自然哲学教授）。
麦克斯韦开始构思一篇系统的论文，内容包括固体的弹性，过滤玻璃在偏振光中的颜色效应。1850年，他向爱丁堡皇家学会提出了《论弹性体的平衡态》的著名论文。从这里我们可以看到他完全把握了复杂物质和弹性体的数学理论，这为他后来研究弹性和光的弹性提供了理论框架。对概念的把握和对材料的使用证明了他数学底子的深厚和解决这个课题前沿问题的信心。作为18岁的年轻人，这篇论文十分出色，它讨论了弹性物的一般数学理论和把它应用于弹性变形物的特例情况，最后解释了光的弹性。这篇论文表现出他对材料的广泛理解和对问题有特色系统表述的非凡能力。
关于弹性的数学理论一直是最著名的数学家们，比如拿维叶(Navier)、布瓦松(Poisson)、科西(Cauchy)所关注的课题。麦克斯韦熟习这些人的著作，但是，他不赞成他们把弹性理论的基础建立在弹性物体分子之间相互作用的假定之上，而是采用了乔治·G.斯托克斯的方法。斯托克斯认为弹性现象和液体的运动是构成它们的分子和微粒作用的结果。这种理论被看成是一种几何学的模型，它独立于分子力的物理学假定，而假定形状的独立性和在空间中运动的点的系统的体积。
追随斯托克斯，麦克斯韦拒绝任何建立在关于实体的分子作用规律这个物理学假设之上的任何弹性固体理论，批判了拿维叶和布瓦松关于中心力的理论，这个理论试图用物理力学来说明弹性，这种力学的基础是分子的超距作用，用它来解释实验的结果，说明弹性固体的压缩和压力之间的关系，从这里引申出的方程“与一切弹性法则相一致”。在这个问题上，麦克斯韦的方法与这个方法相似。他在自己的第一篇研究报告中采用了这个方法来解释场理论（《论法拉第的力线》）。在这里，几何学的模型和物理学的假设之间的区别就基于这篇论文。这种区别正是那个时代剑桥大学数学的特征。麦克斯韦在没去剑桥大学之前，就熟悉了剑桥数学风格的基本特征，并能在研究中运用它。
麦克斯韦的物理学受福布斯颜色理论的影响。1849年，福布斯介绍麦克斯韦做了关于混合颜色的实验，并重新审视了颜色的分类。麦克斯韦对颜色视觉的研究受到海与福布斯的启发，提出了颜色分类的术语与方法，特别重要的是福布斯的实验方法。他的兴趣还扩大到色盲。在理论研究成为麦克斯韦的主要工作的同时，他又非常重视实验，这个根子扎在爱丁堡科学的土壤之中。
3.剑桥大学的数学荣誉学位考试麦克斯韦以一个年轻的有成就的数学家和物理学家的身份进入剑桥大学，他的成长是爱丁堡的实验科学传统、力学艺术和哲学共同培育的结果。他的朋友泰特说：“他知识渊博，但思想欠条理”。1851年，他成了威廉·霍普金斯的学生。爱丁堡的导师对麦克斯韦的评价是既有高度的赞扬，又有某些批评。1850年9月，福布斯在写给威廉姆·惠威尔（三一学院的校长）的信中向他举荐麦克斯韦，“他貌似拙笨，但脑袋里全是新奇的思想，我可以说从来还没有遇到过像他这样的人，特别是物理研究上，他有杰出的天分”。“他表面看来有些胆小怕羞，但极其聪明”。
“他曾在爱丁堡的学术刊物上发表过几篇重要的论文”。当他来到三一学院之后，福布斯又告诉惠威尔：“他在数学上和许多别的方面都有杰出的才能，我认为只有社会和剑桥的教育才能使他成才。他的数学物理推理能力极强，思想的丰富大大超过了他能表达的能力。他是一个少有的人。我认为，在知识的这些领域里，他也许会成为发现者，事实上他已在这些方面迈出了步子。”
福布斯和霍普金斯一致认为，麦克斯韦是一个富有天才的人，但又是一块未经琢磨的璞玉，需要给予他系统的数学教育。
他应当参加剑桥大学数学荣誉学位考试，霍普金斯为他参加这种考试作了实质性的准备。
19世纪上半叶，剑桥大学的数学教育已经过了好几次大的变化，但数学的改革者们仍不满意，流数的和几何学的数学已成为数学进步的障碍。约翰·伯努利(Jonh tann Bemoulli)，拉格朗日，都发展了莱布尼兹的微积分。在这个时期，欧洲大陆数学的发展超过了英国。
对微积分基础的几何学解释在剑桥和苏格兰诸大学占了上风，它强调要研究几何学本身。当时的剑桥大学对欧几里德几何学前6卷评注式的研究是数学课的中心内容。关于抽象的学说，即“知识是借助对经验的思考的对比得来的”在苏格兰派的知识基础论中，占主要地位。
罗伯特·西姆森借助对外在客体的经验说明了点、线、面之间的区别（特点），麦克斯韦对这些很熟习。从科林·麦克劳林和大卫·休谟，到约翰·莱斯利和达格尔德·斯图尔特，都主张几何学上的点、线的概念，可根据对外在客体的思考，即连续的抽象活动而得到证明。古希腊人的几何学，是逻辑推理的光辉样板，在当时的普通教育（文科教育）中，几何教育是重要的。
学生推理的能力是通过研究希腊人的几何学培养起来的，不是借助实践经验建立起来的。这种知识论观点强调概念的明晰性和牛顿微积分方法的纯洁性。
对几何学的这些数学的、形而上的精确性的观点被改革者拉格朗日的分析函数理论打破了。在《分析函数理论》(1797)中，他把导数（而不是把积分）看成分析的基本概念，把一个函数的导数定义为这些项的系数，使其在扩展中成为泰勒级数。这种做法，后来虽然没有成功，但却带来了“外在的标记法”。从导数到剑桥大学数学的拉格朗日概念，在罗伯特·伍德豪斯的《分析计算原则》(1803)中有系统的阐述。但是，1812年，查理斯·巴贝奇、约翰·赫斯舍尔、乔治·皮利克在分析协会中又重新提出这种观点，对剑桥数学的改革产生了较大的影响。他们主张，几何学的和物理的说明必须用抽象的分析原则来代替，这就意味着拉格朗日的导数分析理论——关于导数的更正确更自然的方法代替了牛顿的流数法和终极的比例。皮利克认为，极限是一个神秘的概念，虽然他承认极限可以使数学更活跃。而拉格朗日的系统思想能为微积分提供清晰的基础，这个基础建立在完全独立于无穷小和极限原则之上。
到19世纪20年代，拉格朗日的导数理论开始在课堂上讲授了，但同时也讲授牛顿的终极比例和极限。19世纪50年代，剑桥大学数学荣誉考试的第一部分（主要是数学的基础部分），包括牛顿《自然哲学的数学原理》的第一、第二、第三部分，其命题用牛顿的方法证明。考生必需熟习牛顿基本的和终极比例的方法、关于向心力的理论以及在二次曲线中处理物体运动的方法。1853年，麦克斯韦求助于牛顿提出的几何论证（论向心力的命题），对一个问题进行了论证。
