正弦函数是数学领域的一个定义。正弦函数是三角函数的一种，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正弦函数就是sinA=a/c，即sinA=BC/AB。定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sinx，叫做正弦函数。正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC。
基本信息
中文名：正弦三角函数
外文名：trigonometricfunction
应用学科：数学，物理，地理，天文等
分类：三角函数的一种
简介
正在加载正弦函数
当正弦函数的形式为：y=Asin(ωx+φ)时。这里只讨论A大于零的情况。该函数的定义域为R。值域：【-A，A】。
最值：
（1）最大值：当x=(π/2+2kπ-φ)/ω时，y(max)=A。
（2）最小值：当x=(-(π/2)+2kπ-φ)/ω时，y(min)=-A。
零值点：((kπ-φ)/ω，0)
对称性：
（1）对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ对称.
（2）中心对称：关于点((kπ-φ)/ω，0)对称。
周期：(2π-φ)/ω。
奇偶性：奇函数。
单调性：
在【(-(π/2)+2kπ-φ)/ω，(π/2+2kπ-φ)/ω】上是增函数；
在【(π/2+2kπ-φ)/ω，(3π/2+2kπ-φ)/ω】上是减函数。
定义
三角函数的一种。
在直角三角形ABC中，角C等于90度，AB是斜边，BC是角A的对边，AC是角A的邻边
正弦函数就是sin(A)=a/h
性质
解析式：y=sinx
图象：波形图象
定义域：R
值域：【-1，1】
最值：
①最大值：当x=(π/2)+2kπ时，y(max)=1
②最小值：当x=-(π/2)+2kπ时，y(min)=-1
零值点：
(kπ，0)
对称性：
1)对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ对称
2)中心对称：关于点(kπ，0)对称
周期：2π
奇偶性：奇函数
单调性：在【-(π/2)+2kπ，(π/2)+2kπ】上是增函数，在【(π/2)+2kπ，(3π/2)+2kπ】上是减函数
函数性质
正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h
各常数值对函数图像的影响：
φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）
ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）
A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）
h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）
作图方法运用“五点法”作图
“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.
单位圆定义
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了sinθ=y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。即sinθ=AB，与y轴正方向一样时正，否则为负
对于大于2π或小于0的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的周期函数。
在数学中，三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
基本信息
中文名：三角函数
外文名：trigonometricfunction
别称：弦数
提出者：印度数学家
应用学科：数学、物理、地理、天文等
概述
正在加载三角函数：正弦，余弦，正切，正割，余割，余切
三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
它有六种基本函数(初等基本表示)：
函数名分别是：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割
基本函数
函数简写关系
正弦Sinesin
余弦Cosinecos
正切Tangenttan(或tg)
余切cotangentcot(或ctg、ctn)
正割secantsec
余割cosecantcsc(或cosec)
少用函数
除六个基本函数，历史上还有下面六个函数:
函数关系
正矢
余矢
半正矢
半余矢
外正割
外余割
历史
随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。
研究三角函数的有尼西亚的喜帕恰斯（公元前180-125年）、埃及的托勒密（公元90-180年）、Aryabhata（公元476-550年），Varahamihira、婆罗摩笈多、花拉子密、Abūal-Wafā'al-Būzjānī、欧玛尔·海亚姆、婆什迦罗第二、Nasiral-Dinal-Tusi、Ghiyathal-Kashi（14世纪）、UlughBeg（14世纪）、约翰·缪勒（1464）、Rheticus和Rheticus的学生ValentinOtho。
MadhavaofSangamagramma（约1400）以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。欧拉的《无穷微量解析入门》(IntroductioinAnalysinInfinitorum)（1748）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。
直角三角定义
正在加载坐标系
直角三角形中
在直角三角形中仅有锐角三角函数的定义。
1.一个锐角的正弦是它的对边与斜边的比值。在图中，sinA=对边/斜边=a/h。
2.一个锐角的余弦是它的邻边与斜边的比值。在图中，cosA=邻边/斜边=b/h。
3.一个锐角的正切是它的对边与邻边的比值。在图中，tanA=对边/邻边=a/b。
直角坐标系中
设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，
正在加载函数
是角的终边上一点，
正在加载函数
是P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为：
函数名定义函数名定义
正弦余弦
正切余切
正割余割
单位圆定义
正在加载单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是:
。图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
对于大于2π或小于?2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数:对于任何角度θ和任何整数k。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”(primitiveperiod)。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数可以定义为:
在正切函数的图像中，在角kπ附近变化缓慢，而在接近角(k1/2)π的时候变化迅速。正切函数的图像在θ=(k1/2)π有垂直渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k1/2)π的时候函数接近正无穷，而从右侧接近(k1/2)π的时候函数接近负无穷。
另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的弦AB，这里的θ是对向角的一半，sin(θ)是AC(半弦)，这是印度的Aryabhata(AD476–550)介入的定义。cos(θ)是水平距离OC，versin(θ)=1?cos(θ)是CD。tan(θ)是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ)是另一个切线段AF。sec(θ)=OE和csc(θ)=OF是割线(与圆相交于两点)的线段，所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是exsec(θ)=sec(θ)?1(正割在圆外的部分)。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2(90度)的时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。
级数定义
正在加载关
只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。(在微积分中，所有角度都以弧度来度量)。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立:
这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点(比如，在傅立叶级数中)，因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
其他级数可见于:这里的：是n次上/下数，是n次伯努利数，(下面的)是n次欧拉数。
在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释:它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列(alternatingpermutation)。
secx
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释:它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。
cotx
从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。
与指数函数和复数的联系
可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分:
这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，
正切函数
在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanA=a/b，即tanA=BC/AC。正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商.也有表示为tgθ=y/x，但一般常用tanθ=y/x（由正切英文tangent（读作英[?t?nd??nt]美[?t?nd??nt]）简写得来）。
基本信息
中文名：正切
英文名：tangent
函数名：正弦、余弦
正割函数：secθ=r/x
三角函数
正在加载三角函数示意图
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比值随之确定，这个比叫做角A的正切，记作tanA。
即tanA=角A的对边/角A的邻边。
相关知识
六种基本函数
函数名正弦余弦正切余切正割余割
正在加载正切
正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r
正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y
正割函数secθ=r/x
余割函数cscθ=r/y
同角三角函数关系式
·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secαcotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscαcscα=secα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
特殊函数值
sin30°=1/2
sin45°=√2/2
sin60°=√3/2
cos30°=√3/2
cos45°=√2/2
cos60°=1/2
tan30°=√3/3
tan45°=1
tan60°=√3
tan15°=2-√3
tan75=2+√3
·倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·其他
tanA·tanB·tan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
tanA·tanB=1
正切定理
在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商.
法兰西斯·韦达(Fran?oisViète)曾在他对三角法研究的第一本着作《应用于三角形的数学法则》中提出正切定理。现代的中学课本已经甚少提及，例如由于中华人民共和国曾经对前苏联和其教育学的批判，在1966年至1977年间曾经将正切定理删除出中学数学教材。不过在没有计算机的辅助求解三角形时，这定理可比余弦定理更容易利用对数来运算投影等问题。
正切定理：(a+b)/(a-b)=tan((α+β)/2)/tan((α-β)/2)
证明由下式开始，
由正弦定理得出
(参阅三角恒等式)
正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。放在直角坐标系中（如图）即tanθ=y/x
正在加载定义图
也有表示为tgθ=y/x，但一般常用tanθ=y/x（由正切英文tangent（读作英[?t?nd??nt]美[?t?nd??nt]）简写得来）。曾简写为tg，现已停用，仅在20世纪90年代以前出版的书籍中使用
