在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。
罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。
这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中。这就是数学史上的第三次数学危机。危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。
1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。
与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。
公理化集合论的建立，标志着著名数学家希尔伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等。而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的。因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结。“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献。”
康托尔与集合论
康托尔，是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者；是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托尔是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
1.康托尔的生平
康托尔1845年生于俄国的一个丹麦犹太血统的家庭。1856年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康托尔在1863年带着这个目的进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托尔很早就向往这所由魏尔斯特拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学，康托尔受了魏尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。1874年康托尔在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文章的创造性引起人们的注意。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托尔研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强烈的外界刺激使康托尔患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。1918年1月6日，康托尔在哈勒大学的精神病院中去世。
2.康托尔关于无穷集合的思想，可以溯源很远
无穷和无穷的集合，从古希腊时代起，就引起许多数学家和哲学家的注意。例如，亚里士多德考虑过整数集合的无穷性，但他只承认潜无穷而不承认无穷。他的这种思想影响了不少人。19世纪，极限理论给出无穷概念。数学家们普遍认为无穷的概念本质上是作为无穷过程即变量变化的趋势来理解的。无穷小定义为极限为零的变量，否定了作为数量的实无穷小；无穷大理解为其绝对值可以无限增大的变量，而作为数量无穷大也被忽略了。被誉为“数学之王”的高斯就是一个潜无穷论者。当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷则是片面的数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。
数学分析严格化的大师波尔查诺（捷克数学家、哲学家）是一位探索实无穷的先驱，他是正式提出“集合”概念的并是试图着手研究无穷的一个。1851年，他在《无穷悖论》中提出两个无穷集合的等价概念，明确表达了无穷集合具有“部分可以等于全体”的特征，并力图用这些说明：实无穷无论是在数学中，还是在哲学中，都是合法的，但在人的理论体系当中，还存在着许多错误，如错误地用比较无穷大的阶的办法比较无穷大小。
集合论的创立，是同康托尔的成就分不开的，因此康托尔被认为是20世纪有极大影响的数学家。
康托尔在哈雷大学任教期间，海涅作为同事和师长，建议他研究黎曼提出的“惟一性理论”。康托尔接受了这个建议，并放弃了他的所喜爱的数论方面的研究课题，1870年、1871年、1872年连续发表了三篇论文，提出了“戴德金—康托尔”公理，定义了导集，使无穷点集成为数学研究的对象。
1874年，康托尔又发表了《切代数实数的一个性质》一文。该文提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集进行分类。该文是集合论诞生的标志，康托尔1874年的论文以取得如此重要的成就，主要是他坚持了一一对应的方法。由于这一认识上的飞跃，才接受了无穷它的真子集对等这一事实。虽然这个事实早在5世纪的普鲁克鲁斯已经知道，以后在伽利略、莱布尼兹、波尔查诺等人的研究中都屡次提到过，但在康托尔之前，都因为这个结果同“整体大于部分”这一传统公理相悖而把它否定了。康托尔敢于承认有限和无限的本质区别，排除一切传统的、直观的世俗偏见，利用一一对应这一有效工具。对无穷集合的特性进行了深入的分析和开拓。
1879—1884年，在以《关于无穷的线性点集合》为总标题下的一系列论文中，康托尔系统地建立了无穷集合的超基数与超限数的理论。
为了真正把超限数当作“数”来对待，康托尔不像波尔查诺那样，随便给无穷集合指定一个超限数，而是利用等价成。每一个矿脉对应一个基数，并规定超限数大小的比较法则。
集合论是现代数学中重要的基础理论。但在其产生初期，人们不仅没有认识到它的重要意义，甚至受到人的激烈反对。反对派的柏林学派的代表人隆尼克认为：只有自然数才可以作为数学的可靠基础，任何涉及“无穷”的数学都毫无意义。德国数学家魏尔斯特拉斯认为，康托尔把无穷分成等级是雾上之雾。
由于两千年来无穷数学带来的困难，也由于反对派的权威地位，康托尔的成就不仅没有得到应得的评价，反而受到排斥。在学校，康托尔只能拿同等资历教授工资的一半；在社会上，好几家杂志拒绝刊登他的论文，粗暴的指责、无理的歧视给康托尔带来巨大的压力。1884年康托尔患了精神分裂症，后来又将宗教信仰作为精神寄托。然而，真理是不可战胜的，他最终获得了世界的承认，至今享有极高的声誉。希尔伯特就曾热烈赞美康托尔的业绩：“没人能把我们从康托尔所创造的天国中赶走。”罗素把康托尔的工作称为：“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”
集合论的理论意义十分巨大，它拓宽了人们对“无穷”和“无穷集合”的深层认识。就数学而言，集合论改变了数学的各个分支的基本叙述方式，成了它们共同的基础。
数学无穷思想的发展历程
无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。我们在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程光辉的起点：数学无穷发展的萌芽时期早在远古时代，无限的概念就比其他任何概念都激动着人们的感情，而且远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。
在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。
在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已是近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。
由此，我们可以看到在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。首创风波：芝诺悖论，虽说，古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。可以说，对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。
芝诺，公元前5世纪中叶古希腊哲学家。他提出的四个悖论虽是哲学命题。但却对数学无穷思想的发展产生了直接且深远影响。这里仅举其悖论之一。
阿基里斯悖论：跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。大意是说甲跑的速度远大于乙，但乙比甲先行一段距离，甲为了赶上乙，须超过乙开始的A点，但甲到了A点，则乙已进到A1点，而当甲再到A1点，则乙又进到A2点，依此类推，直到无穷，两者距离虽越来越近，但甲永远在乙后面而追不上乙。
这显然违背人们常识的芝诺悖论，因与无限问题密切相连，就使得古希腊人对无穷有些望之却步静而远之了。同时也导致古希腊数学家不得不把无限排斥在自己的推理之外了。
芝诺悖论就这样一直困惑着人们，问题的症结何在呢？
崭新一页：微积分学的诞生。
随着时代的发展，实践中提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、巴罗……并取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊，因而出现了一门崭新的数学分支：数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光辉动人的乐章。风波再起：贝克莱悖论。往真理的路总是坎坷不平，布满了艰辛，探求无穷之径更绝非坦途。
17世纪后期，牛顿、莱布尼兹创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。1734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。这就是所谓的“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为零的问题”就实际应用而言，它必须既是零，又不是零。而从形式逻辑角度而言，这无疑是一个矛盾。贝克莱悖论，动摇了人们对微积分正确性的信念，在当时数学界引起了一定混乱，从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机。
18世纪微积分产生后，一方面在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论，也就是说，正确的（尤其是在几何应用上是惊人的）结果却是通过肯定不正确的数学途径得出的。这把数学家们推到了尴尬境地。在对微积分的取舍上到底何去何从呢？“向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起不顾一切奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，18世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努利家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。因而数学史家把这一时期称为发明的世纪。
微积分产生之初，对基础不牢的指责，以及由此引发的争论，一直就是微积分学奏出的光辉乐章中的不谐和音。然而在18世纪，它被微积分应用中惊人的成功所赢得的震耳掌声暂时掩盖了。经过数学发明的18世纪后，数学建筑扩大了，房子盖得更高了，而基础却没有补充适当的强度。18世纪粗糙的，不严密的工作导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。
