超限数，简单来说就是代表实无穷的数。当集合内只有有限个元素时是很易理解的，但当集合内有无限个元素时便需要超限数的帮助，例如：自然数集的元素数目（可数无穷），也是最小的超限数，我们称之为“i0”，其中“”是希伯来文的第一个字母。从集合论中可知道，任何集合的幂集的基数都必比原本的集合的基数大，所以自然数集的幂集的基数必定是一个超限数，而且比i0更大。
一一对应概念的起源
“一一对应”是数学最基本的概念之一，起源于人类原始时代，具体年代久远已不可考。
人类计数过程实质就是应用一一对应概念计量事物数量的过程。对一一对应概念起源猜测，主要有三种说法：
第一种起源说是：部落、氏族或者家庭，都必须在它的成员之间分配食物，也必须记住它的羊群或牛群的头数。这个过程就是应用一一对应的起始。
在荷马史诗中有这样一个故事：当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯并离开库克罗普斯国以后，那个不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨羊群外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上羊群返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的羊全返回了山洞。
第二种起源说是：原始人捕获的猎物多得无法计清，他们为了计数，用结绳计数的方法来表示今天有多少猎物，这就是一一对应的雏形。
公元前3000年的壁画记载了埃及人用打结的绳子丈量土地和估算收获。人们将收获的谷物送往粮仓，并有记录员做统计。
我国汉朝郑玄的《周易注》中记载：“古者无文字，结绳为约，事大，大结其绳；事小，小结其绳。”
第三种起源说是：考古学发现的一些古老的、刻着一些缺口的骨棒，或有划痕的土坯或岩石块，这些缺口或划痕就是用来一一对应捕获的猎物或某种事情。
从前，英国的酒保往往通过用粉笔在石板上画记号来计数顾客饮酒的杯数。在捷克斯洛伐克出土的一根3万年前的狼骨上面，刻有55道深深的刻痕，5道刻痕为一组。
很久以来，一一对应概念一直被隐含在数学计数方法中。直到1878年，才由伟大的康托尔把“一一对应”概念从数学中科学地提取出来发扬光大。
康托尔匠心独运，以一一对应关系为基本原则，寻求无穷集合的“多少”关系。他把两个能一一对应的集合称为同势，利用势他将无限集进行了分类。
由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应。例如，自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系，也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数。这与传统观念“全体大于部分”相矛盾。而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征。
自然数集合1，2，3，4，5，6，……
正偶数集合2，4，6，8，10，12，……
康托尔证明了，一个正方形面上的点的集合与正方形一边上的点的集合等势；一条线段上的点的集合，比自然数集合有更高的势。
悖论的产生——第三次数学危机
为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示？于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从欧几里德几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在19世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。
这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。
这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及δ函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。
对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。
罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。但是，罗素悖论并不是头一个悖论。老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。这些悖论合在一起，造成极大问题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。
头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。
布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。
罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。法国逻辑学家茹尔丹找到一条出路，他区分了相容集和不相容集。这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。不久之后，罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。
布拉里·福蒂文章中对良序集有一个错误的概念，这个概念是康托尔1883年引进来的，但一直没有受到什么重视。1887年8月，在布拉里·福蒂的文章发表以后，阿达马在第一次国际数学家大会上仍然给出了一个错误的良序集的定义。因为布拉里。福蒂所考虑的关于良序集的概念太弱了，他不得不引进自己的完全序。这两个概念并不一致，每一个良序集是完全序集，但是反过来不对。布拉里·福蒂很快就认识到他的错误，他在1897年10月的一篇文章中指出这两个概念的不同，但是他没有重新检查自己的证明。一直到1906年初他给库图拉的一封信中，他似乎还认为：一旦良序集和完全序集的区别被人们认识到，在他的文章中揭示的矛盾就会消除。
康托尔1899年7月28日给戴德金的信中，谈到布拉里·福蒂所提到的矛盾，这个矛盾并没有导致康托尔放弃集合的良序性，而放弃了它的集合性。他把集合分为两类：相容集合和不相容集合，而只把前者叫做集合。这种区分法预示了冯·诺依曼在1925年引进的集合和类的区别。但是康托尔对于这种区分的判断标准仍然是不精确的。如果我们把一个集体考虑为一个对象而没有矛盾，它是一个集合。这个想法后来改进为：当一个集体是另一个集体的元素，它是一个集合。
这种相容集体和不相容集体的区别早已被施罗德引进来。他认为如果集体的元素彼此是相容的，它是相容的；而如果集体的元素彼此是不相容的，它是不相容的。有趣的是施罗德引进的这种区分和悖论没有关系，因为这种现代形式的悖论当时还不知道。康托尔关于集体的叙述——两个等价的集体或者都是集合，或者都是不相容的，可以看成是取代公理的最早的表述。这个公理是弗兰克尔和斯科兰姆在1922年提出的。
布拉里·福蒂的悖论揭示了康托尔集合论的矛盾。其实，康托尔本人在这之前已经意识到集合论的内在矛盾。他在1899年7月28日给戴德金的信中指出，不能谈论由一切集合构成的集合，否则就会陷入矛盾。这实际上就是罗素悖论的内容。
康托尔最大基数悖论和布拉里·福蒂悖论到罗素悖论都是集合论悖论，它们直接同康托尔朴素集合论的不严格性有关。毛病出在集合的定义上，也就是任何性质就对应一个具有这种性质的集合，这就是所谓内涵公理组。集合论的这种矛盾必须通过削弱这个错误的公理组才能解决。
罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：
1.理查德悖论。法国第戎中学教师理查德在1905年发表了一个悖论，大意如下：法语中某些片语表示实数，比如“一个圆的圆周与直径之比”就表示实数π。法语字母也像英语字母一样有一定的顺序，所以我们可以把所有片语按照字母顺序排列，然后按照片语中字母的多少排列，少的在前，多的在后。这样我们把能用片语表达的实数排成一个序列，a1，a2，a3，……于是就得到了所有能用有限多字（字母）定义的数了。它们构成了一个可数集合E。现在我们提出一个规则把这个序列改变一下造成一个数来：“设E中第n个数的第n位为p，我们造一个实数如下：其整数部分为0，如果p不是8或9；其第n位小数为p+1，要是p是8或9的话，则第n位变成1”。这个实数显然不属于E，因为它和E中每个数都不一样。但是它们却可以由上面有限多个字组成的话来表示，因此应该属于E，这就出现矛盾。
理查德提出的悖论是因为看到法国《纯粹科学与应用科学通论》1905年3月30日一期的编者按语而写的。编者谈到，1904年8月在德国海德尔堡召开的国际数学家大会上，德国数学家寇尼格证明连续统是不能够良序化的。可是一个月后，德国数学家策梅罗却证明了任何集合都能良序化，理查德从这段话中看到了集合论中存在“某些矛盾”，这些矛盾和良序性和序数的概念有关系，于是他给该刊物编辑部写了一封信，登在1905年6月号上，编者还加了按语。
2.培里悖论。培里是英国的图书馆管理员。有一天他告诉罗素下面的悖论：英语中只有有限多个音节，只有有限多英语表达式包含少于40个音节，所以，用少于40个音节的表达式表示的正数数目只有有限多个。假设R为不能由少于40个普的英语表达式来表示的最小正整数（TheleastpositiveintegerwhichisnotdenotedbyanexpressionintheEnglishlanguagecontainingfewerthanfortysyllables）。但是，这段英语只包含三十几个音节，肯定比40个少，而且表示R，这自然产生了矛盾。
3.格瑞林和纳尔逊悖论。纳尔逊是新康德主义的小流派之一弗瑞斯派的代表。1908年他和他的学生格瑞林把下面的悖论发表在弗瑞斯派的一个文集上，通常称为格瑞林悖论。如果一个形容词所表示的性质适用于这个形容词本身，比如“黑的”两字的确是黑的，那么这个形容词称为自适用的。反之，一个形容词如果不具有自适用的性质，就叫做非自适用的。在英语中：“Polysyllabic”（多音节的），“English”（英语的）这些词都是自适用的形容词，而“monosyllabic”（单音节的）、“French”（法语的）这些词就是非自适用的。现在我们来考虑“非自适用的”这个形容词，它是自适用的还是非自适用的呢？如果“非自运用的”是非自适用的，那么它就是自适用的；如果“非自适用的”是自适用的，那么按照这词的意思，则它是非自适用的，这就导出矛盾。
悖论动摇了整个数学的基础
1900年左右，数学已经发展成为一个庞大的领域了。当时纯数学大致分为算术、代数、几何和数学分析。随着第二次数学危机的解决，数学分析建立在极限理论基础上。而极限理论中，有些基本性质要由“单调有界的数列必有极限”这个定理来证明。这个定理从直观上看尽管很明显，但是追求严密性的数学家很早就要求不靠直观而靠逻辑来证明，要求一切定理都从比较简单的公理推导出来。
