第23章 数学与生活(7)

所以，庞贝城全盛时为公元前79年，火山爆发把它湮没在公元后79年，挖掘工作从公元1748年一直延续到1960年。

23x=2500

x=3750

蛋铺的生意

有一家小蛋铺，主要出售鸡蛋、鸭蛋和鹅蛋。鸡蛋1元5角一打，鸭蛋1元8角一打，鹅蛋2元6角一打（注：一打蛋是12个）。有一位顾客，身边只带了1元1角，他能买几种蛋、几个蛋？

解答：假设可卖鸡蛋x个，鸭蛋y个，鹅蛋z个。

有方程：1.5012x+1.8012y+26012z=1.10①化简得：15x+18y+26z=132②∴132=3×44=4×33∴②的解有两种形式：

（1）x=0y=z=3

（2）z=0x=y=4

由此，1元1角可以买3个鸭蛋和3个鹅蛋，或者买4个鸡蛋和4个鸭蛋。

列方程求年龄

19世纪，英国有个数学家叫狄摩根，曾在逻辑研究方面做出过贡献，活了65岁。生前某一年，有人问他：“你多大年龄啦？”在西方，除非至亲好友，随便问人家年龄是不礼貌的。狄摩根倒没有计较，他想了想，说：“我在公元x2年是x岁。”

狄摩根开的是什么玩笑呢？看到他一本正经的样子，问话的人便认真思考起来：要是设他出生年是公元y年，就有x岁时是公元y+x年，得y+x=x2。

这个方程有两个未知数，是个不定方程，可以根据年龄本身的特点，化成不等式来求解。

狄摩根是19世纪的数学家，又只活了65岁，那他的出生年，就一定在1735年后，在1835年前。

∵1835>；y>；1735；

∴1835>；x2-x>；1735。

这样，我们就可以把这个一元二次不等式的左右两边，分别求解，然后再取它们的公共解。

x2-x-1835<；0，

分解因式，化简，得：

-42.34<x<4334

年龄不能是负数，得x<；43.34。

x2-x-1735>；0，

分解因式，化简，舍去负数，得x>；42.16。

于是，公共解是43.34>；x>；42.16。

考虑到年龄取整数，满足上式的只有x=43（岁）。

因为狄摩根在43岁时是公元432=1849年，所以他是在公元1806年出生、1871年去世的。

列出方程，用不等式寻找狄摩根的年龄相当费事，有点像公安人员在破案了。其实，这个题有一个非常简单的解法，是小学生也能很快给出答案的。

我们很容易算出来，在1700～2000之间，只有三个完全平方数。这就是422=1764、432=1849、442=1936。

要是狄摩根在1764年是42岁，他活到19世纪就有70多岁了，所以不对。要是狄摩根在1936年是44岁，那他是1892年生，19世纪末才8岁，不可能是这个世纪的数学家。所以答案只能是：在1849年时狄摩根43岁。

再来看一个问题：

父亲现在的年龄与儿子现在的年龄加起来是110岁；等到儿子的年龄与父亲现在的年龄相同时，儿子的年龄是孙子现在的年龄的9倍；那时，孙子的年龄比儿子现在的年龄大4岁。请问：孙子现在的年龄多大？

解题时设未知数可以大胆些，不必怕未知数设多了。题里有父亲、儿子、孙子三人，就分别设他们现在的年龄是x、y、z岁。然后，逐句分析题意，列出方程式。

第一句很明确

x+y=110…①

第二句也清楚，当儿子年龄达到x岁时，就有

x=9z……②

两个方程有三个未知数，还需要再列一个方程才好解。不用说，应该在第三句上打主意了。

关键是要找出“那时”孙子的年龄，找到后减去y等于4，就是第三个方程。

“那时”孙子的年龄是多少呢？是现在孙子的年龄z加上若干年。这若干年是多少年呢？就是儿子从现在年龄y活到x岁时的年数，也就是x-y。于是得到［（x-y）+z］-y=4……③解①②③三元一次方程组，得z=8（岁）。

哪些灯还亮着

有一百盏电灯，排成一横行。自左向右，我们给电灯编上号码1，2，3，……，99，100。每一盏灯由一个拉线开关控制着。最初，电灯全是关着的。

另外，还有一百个学生。第一个学生走过来，把凡是号码是1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第二个学生走了过来，把凡是号码是2的倍数的电灯开关拉了一下；第三个人再走过来，把凡是号码是3的倍数的电灯上的开关拉了一下，如此下去，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉一下。这样做过之后，问：“哪些灯是亮着的？”

这简直令人眼花缭乱，不易理出头绪，方法不当就更不得要领。

正确的思考是：由于最初所有的电灯都是关着的，所以被拉了偶数次开关的电灯，仍然是关着的；只有那些被拉了奇数次开关的电灯才是亮着的。因此，人们只须去关心那些被拉过奇数次开关的电灯。

按照问题所规定的法则，编号为n的电灯被拉过几次呢？要看整数n中有多少个正因数。如果n不是平方数，那么n的全部正因数的个数是偶数，这盏灯是关着的。只有当n是平方数时，n的全部正因数个数是奇数，这盏电灯被拉过奇数次，因此它是亮着的。

这样，我们知道了，只有编号为

1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的灯是亮着的。

最后举一例，看你是否有了“对称意识”：

〖6〗……两人把一个棋子，从左到右移动，使它经过一排方格中的每一个格，这排方格的总数是1990，谁把棋子移动到最后一格，谁就获胜。两人轮流，一次移动1至3格。如果你先走，你会赢吗？若再模仿前两个游戏，就会因找不到对称中心而困惑。但如果你有“对称意识”，就会立刻想到在四个格子里，对手先走，你必能获胜。这样，你走第一次时只要使剩余的格数是4的倍数就行了，对手走1格，你走3格；对手走2格，你走2格；对手走3格，你走1格，一直到你把棋子移到最后一格里。

为此，你的第一步只要把棋子移到左边的第二个格子里，（1990÷4=497×4+2）就稳操胜券了。

计算黄浦江的宽度

黄浦江是上海水路运输的重要河道。为了适应浦江两岸交通运输日益繁忙的需要，70年代以来，特别是改革开放以来，黄浦江下建起了几条隧道，江上架起了南浦、杨浦、徐浦等大桥。修隧道也好，造大桥也好，都要计算黄浦江有多宽。那么，如何比较精确地测量并计算出黄浦江的宽度呢？

假设要计算从A点到B点的距离，怎么算呢？

先在B岸选一点C，使A、B、C三点组成一个三角形，设B、C两点都在浦东岸边，那么，BC的长度就可以直接测量出来，如测量得BC=52112米；∠A和∠C也可以用精密的经纬仪比较精确地测出来，如测得∠A=45°16′42″，∠C=46°43′12″。

在三角形ABC中，∠A、∠C、BC都测量出来，利用正弦定理就能计算出AB的长度。

由正弦定理sin∠CAB=sin∠ABC，

所以AB=sin∠Csin∠A×BC

=sin46°43′12″sin45°16′42″×52112

≈0.72801211071053343×521.12

≈1.0246×521.12

≈533.94（米）。

这样测量计算所得到的黄浦江的宽度是比较精确的，其误差一般在3厘米之内。

测量金字塔的高度

你知道古埃及的金字塔吗？它们是一些古老雄伟的建筑物，是古代埃及国王们的坟墓。

2600多年前，埃及有个国王，想知道已经盖好了的大金字塔的确实高度，可是谁也不知道该怎样测量。

人爬到塔顶上去吧，不可能。因为塔身是斜的，就是爬上去了，又用什么方法来测量呢？

后来，国王请到了一个名叫泰勒斯的学者来设法解决这个问题。泰勒斯选择了一个风和日丽的日子，在国王、祭司们的亲自驾临下，举行了测塔仪式。

看热闹的人当然不少，人们拥挤着、议论着。看看时间已经不早，太阳光给每一个在场的人和巨大的金字塔都投下了长长的影子。当泰勒斯确知他自己的影子已等于他的身高时，他发出了测塔的命令：这时，助手们立即测出了金字塔的阴影的长度DB。接着，泰勒斯十分准确地算出了金字塔的高度。

在那个时候，大家都非常佩服泰勒斯的聪明！

可不是吗？泰勒斯的确了不起，因为他在2000多年以前，就已经应用几何学里的相似形原理来测算金字塔的高度，而现在我们学的几何学——欧氏几何，还是在泰勒斯以后许多年，由希腊学者欧几里得创立起来的呢。

泰勒斯是怎样算出金字塔的高度的呢？因为泰勒斯是在他的影子等于他自己的身高时才测量的。这时候，日光正是以45°的角度射向地面的，即∠CBA=45°，∵∠ACB=90°，∴∠BAC=45°。

这时，由金字塔的顶点、塔底的中心点和阴影的端点所组成的三角形是一个等腰三角形，所以，它的两个边AC和BC必相等。金字塔底边的长度，泰勒斯是早已测量好了的，它的一半就是CD的长度，DB的长度是助手们测出来的，他把CD加上DB，就算出了金字塔的高度。

用墙上的树影测树高

如果有人要你测量一个较矮的物体的高，比如说你的课桌，教室的黑板，你可以马上用皮尺量出。但是，要你测量一棵树的高度，你就得费点周折，方能得出结果。

如图1，某人想利用树影测一棵树AB的高，他找来一根图1图21米的竹竿CD，直立在地上，测得它的影CE的长为0.8米，他还测得树影AE长2.4米，他只通过简单计算，很快就得出结论：树高3米。

这是由于△ABE与△CDE相似，所以AB∶AE=CD∶CE，AB∶2.4=1∶0.8，AB=2.4×10.8=3（米）。

接着，他还想测量另一棵靠近围墙的树，此时，树影没有全落在地上，有一部分落到了图3墙上，如图2所示。他测得落在地面部分的树影长28米，落在墙上部分的树影高1.2米。

现在是一部分树影上了墙，所以不能套用前面的方法，但只要弄清影子是怎样形成的，问题也不难解决。

如图3，线段AB表示树高，AC为落在地面部分的树影，CD为落在墙上部分的树影，BD为太阳光，过C作BD的平行线CE，交AB于E点，那么树高AB=AE+EB。

由前一个问题我们知道：

AE∶AC=1∶0.8，AE∶2.8=1∶0.8，

AE=2.8×10.8=3.5（米）。

同时，EB=CD=1.2（米），所以树高AB=3.5+1.2=4.7（米）。

测堤面的坡度

俗话说，水火无情。为防止洪水危害村庄、农田、城市、工厂，有时需要沿河筑起拦洪大堤。大堤的横截面一般都是等腰梯形。如图所示，PQRS就是一个等腰梯形的横截面，角度α称为大堤的坡度。

如果大堤已修好，我们如何测出堤面的坡度呢？有人说，要测角度α太容易了，只要在大堤的底部打一个洞，量出PQ、SR及PS，再根据cosα=12*（PQ-SR）PS，角度α立即可以求得。但是，在堤下打洞，会破坏大堤，容易引发事故。那么怎样在不破坏大堤的前提下测出角度α呢？

如图，假设堤面与地面的交线是l，A为l上任意一点，过点A分别沿地面作AB⊥l，沿堤面作AC⊥l，这时α=180°-∠BAC。可见，只要求得∠BAC的度数，角度α就知道了。

要求∠BAC，我们可以过C、B两点拉直一根绳子，形成三角形ABC，则∠BAC是这个三角形的一个内角。用皮尺分别量出绳子BC及线段AC和AB的长，就可算出∠BAC。比方说，BC=a，AC=b，AB=c，那么，根据三角学中的余弦定理：

a2=b2+c2-2bccos∠BAC，得cos∠BAC=b2+c2-a22bc，很快可求出∠BAC。

所以，用上面所说的方法，既可以不破坏大堤，又能测出堤面的坡度。

要在楼梯上铺地毯，如何快速

量出所需购买地毯的尺寸某学校新建成一幢漂亮的图书楼，如果能在楼梯上铺上地毯，同学们会觉得大楼更整洁图1、舒适。然而，你知道如何快速量出所需购买地毯的长度吗？

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