你可能会说：“这个问题太简单了，只要把每级台阶的宽度和高度量一下，再把它们的值都加起来不就行了吗？”可是，请你想想，这样做是不是太费事了呢？
图1表示由几级台阶组成的一段楼梯，其中AB、BC分别表示这几级台阶的总宽度和总高度，只要量出AB和BC，再把它们的长度相加，得到的值就是所需地毯的长度。这是为什么呢？
先设想楼梯只有两级台阶，如图2所示，那么所需地毯的长度是折线ABCDE的长，如果分别延长AB、ED，用G表示两延长线的交点，你会发现：BC=GD，CD=BG，所以折线ABCDE的长度就是AG与GE的和，也是AF与FE的和。
图2图3再把楼梯变成三级台阶，如图3所示。延长AB、GF，用I表示两延长线的交点。现在你可以马上说出所需地毯的长度是AH与HG的长度之和了吧。
依此类推，不论一段楼梯有多少级台阶，我们总能很快量出这段楼梯所需地毯的长度。
怎样把一个多边形木架固定住
如果将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，它的形状是不会改变的，这就是“三角形的稳定性”原理。
图1图2但是，如果像图1那样，用四根木条钉成一个四边形木架ABCD，它的形状可能要改变，这就是说，四边形没有稳定性。
要使这个四边形木架不活动，只要根据三角形的稳定性原理，用一根木条将它的一对顶点，比如说A和C连接起来，把它图3分成两个三角形就可以了。我们常可见到，在用木条做成的栅栏门上，斜着钉了一根木条，这样做就是为了使它稳固。
不仅四边形不具有稳定性，而且边数比4大的多边形都不具有稳定性。
如果有一个用木条钉成的凸六边形木架ABCDEF，如图2所示，你能否再钉上三根木条，使它不能活动呢？
有“三角形的稳定性”原理，这个问题就不难解决了。图3中的这些连接方法，都能使木架稳固不动。
实际上，还有其他方法，你不妨试一试，看还能怎样连接。
怎样使修路的费用最少
开发区里有两家大型的工厂，它们的位置如图所示，分别位于A点和B点。它们的产品都要先运到一条河边，在图上用直线XY表示，再通过船运出去。现在准备在河边建一个轮船码头，并且再修两条公路分别从两家工厂直通这个码头。这个码头应该选在哪一点，才能使修路的费用最小呢？
由于修路的费用与路的长度直接相关，要使修路的费用最小，也就是要使两条公路的总长最短。因此，化为数学问题，也就是如何在直线XY上选取一点C，使AC+BC最短。
现在我们应用数学知识，来解决这个问题。先从B点作一条关于直线XY的垂线，与XY的交点设为E，延长这条垂线至D点，使得DE的长等于BE。连接A、D两点，与XY的交点就是我们要求的C点。
下面我们来证明AC+BC最短。由于B点和D点是关于XY的对称点，所以从点B到XY上任一点的长度等于从D到这一点的长度，因而，从A点到XY上再到B点的总长，就转化为从A点到XY再到D点的长度，根据两点之间直线最短，可知AD是A到XY再到D的最短距离，也就是说AC+BC=AD是点A到XY再到点B的最短距离。
其实，对于许多实际问题，只要我们能找出其中的数学含义，便可以运用数学知识加以解决。
怎样估计池塘里的鱼数
在日常生活中，常常需要估计农作物等的产量，例如估计水稻的亩产等。常用的办法是先收割一小部分，如1分地（1亩=10分）的作物，测量出产量再乘以10，即得1亩地的产量。为了尽量减少误差，也常分不同地块收割几小部分的作物，测出产量后求平均值，再用平均值去估计总的亩产量。
水稻等作物的产量可以认为是均匀的，不同地块的产量相差不多，所以可以用上述方法进行估计。但若要估计某池塘里的鱼数，上述方法就行不通了。因为鱼在池塘里是到处游动的，且不同地方的鱼数也不一样，当然，也不可能把池塘里的鱼全部捕上来数一遍。那么，池塘里的鱼数到底是怎样估计出来的呢？
有一个巧妙的办法，先从池塘里任意捕一部分鱼，例如100条，做上记号后再放回池塘。过一段时间以后，可以认为这些做过记号的鱼游到了池塘的各个地方，或说均匀地分布在整个鱼群中。此时，再一次捕一部分鱼，例如50条，数出其中做过记号的鱼数，假设其中有两条鱼做过记号。现在，已知50条鱼中有2条做过记号，即做过记号的鱼数占全部鱼数的250。那么，（池塘里）总共多少条鱼中有100条是做过记号的？很容易计算出，100÷（2÷50）=2500，因此，池塘里总共有鱼约2500条。
同样，为了尽量减少误差，我们也可以分不同时间、不同地点多次捕出部分鱼来，数出其中做过记号的鱼数，计算其所占的比例，求出这些比例的平均值，然后再计算出池塘里总的鱼数。例如分5次捕鱼，每次做过记号的鱼所占比例分别为250、370、5100、380和475，经计算，15（250+370+5100+380+475）≈0.0447，100÷0.0447≈2237所以，池塘里共有鱼约2237条。
车站应设在哪里
我们上学、上班或旅游购物，经常要乘坐公共汽车。有的人住得离车站比较近，有的比较远。那么车站究竟设在哪儿最好？它又是根据什么定出来的呢？
一个车站无论设在哪儿，总是不可能让每个人乘车都最方便，选择车站设置点的原则，就是要尽可能地使所有乘车的人总体上感到最方便。
我们先来看一个简单的例子：设一条公路边A、B两点各有一个工厂，每个厂每天分别有20人和30人要乘坐某路公共汽车上下班。现要在两厂之间设一个车站，试问车站设在什么地方最合适呢？要使所有乘车人总体上感到最方便，就是要使他们每天上下班走的总路程（从车站到工厂）最短。设A、B两厂相距a米，如果车站设在C点，离A厂x（0≤x≤a）米，离B厂a-x米，则工人走的总路程s为：
s=x×20+（a-x）×30=30a-10x。
要使s最小，x愈大愈好，而C点必须在AB之间，因此x最多为a，也即C点与B点重合，车站设在B厂门口最好。
从上面的例子可以看出，车站设置要尽量靠近乘车人数多的地方（B厂）。如果公路旁的工厂（或学校等）不止两家，解决的方法也是类似的。我们再来看一个较为复杂的例子。
假设公路旁有A、B、C、D、E共5家工厂，每天分别有25、30、20、17、20人要乘坐某路公共汽车上下班。问车站设置点F选在何处最佳。
计算方法是这样的：
先计算总的乘车人数P和P／2，
P=25+30+20+17+20=112（人），P／2=56（人）。
再依次计算沿路各厂的累计乘车人数，并与P／2比较：
A厂人数25<；56，
A、B两厂人数：25+30=55<；56，
A、B、C三厂人数：25+30+20=75>；56。
A厂乘车人数少于总乘车人数的一半，也就是说A厂乘车人数少于B、C、D、E四厂的乘车人数总和，故车站要靠近B、C、D、E一方；同样，A、B两厂乘车人数少于总乘车人数的一半，故车站要靠近C、D、E的一方；而A、B、C三厂乘车人数多于总乘车人数的一半，所以车站又要靠近A、B、C三厂的一方。综上所述，车站既要靠近A、B、C三厂的一方，又要靠近C、D、E三厂的一方，因此设在它们公共的一点C点，即车站设在C厂门口最佳。
防癌普查中呈阳性的一定是癌症患者吗
为了早期诊断、早期治疗，我国的医疗机构常进行防癌普查。在每一次普查中，总会有一些人检查结果呈阳性反应，于是他们就以为自己真的患了癌症。实际情况是不是这样呢？
其实每一种检验都有或大或小的误差。这种误差又分两种情况，一种是没有病，检验结果却说有问题（呈阳性反应），这是一种“扩大化”的误差；另一种是有病却没有被查出来（呈阴性反应），这是一种“缩小化”的误差。防癌普查中呈阳性反应的人，有可能真的患了癌症，也有可能是“扩大化”误差造成阳性，实际上并没有患癌症。同样，呈阴性反应的人，也并非都没患癌症，可能原本是癌病患者，却未被查出来。
那么，发生这两种误差的可能性有多大呢？特别是发生“扩大化”误差的可能性有多大呢？如果这种可能性比较大，那么呈阳性反应的人真的患癌症的可能性就较小。
我们以某次防肝癌普查为例来说明这个问题。假设某医疗机构使用某种方法检查肝癌，检查的可靠性为99％，即出现两种误差的可能性为1％。总的来说，这种检查方法的可靠性是不错的。现在有一人检查结果为阳性，他患肝癌的可能性有多大呢？
据估计，肝癌发病率为004％。假设检查总人数是100万人，那么其中肝癌患者约有400人，不患肝癌者大约有999600人。因为检查的可靠性为99％，因此在400个肝癌患者中，检查结果呈阳性的有400×99％=396人，呈阴性的有4人；在其余不患肝癌的检查者中，检查结果呈阳性的有999600×1％=9996人，其余呈阴性。总的来说，检查结果呈阳性的共有396+9996=10392人，而其中真正患肝癌的只有396人，约占全体呈阳性反应者的381％。换句话说，检查结果呈阳性的人，真正患肝癌的可能性只有约381％，而因“扩大化”误差造成被误判的可能性却有1-381％=9619％。
所以，在普查中呈阳性反应的人不必过于惊慌。尽管检查方法是不错的，可靠性也很高，但阳性反应者真的患病的可能性还是不大的。
疾病普查怎样进行最省力
我国的医疗机构常进行一些疾病的普查。一种常见的普查方法是验血，通过验血，可以对肝炎、霍乱、血吸虫病等多种疾病作出早期诊断。普通的验血普查方法是：由医疗人员到各个普查点抽取每位接受检查人员的少量血液，做好标记，由医疗人员带回医院或研究机构逐一检查，最后再把检查结果告诉每一位被检查者。这种普查方法虽然很有效，但检查过程费时费力。有没有省时省力一点的办法呢？答案是肯定的。我们举一个例子来说明这个问题。
某次疾病普查需要对上海市1400万居民进行肝炎病毒的验血普查。医疗人员抽取血样带回以后，有两种验血方案可供选择。第一种是普通的方法，即对每份血样逐一进行检查。另一种方案是把所有血样先进行分组，每组100份，从同一组的每份血样中抽取一部分（验血只需要极少量的血样）进行混合，然后再对混合后的血样进行检查。如果检查结果呈阴性，即没有检出肝炎病毒，则表明该组100份血样都无病毒；如果检查结果呈阳性，即检出肝炎病毒，则表明该组100份血样中有某一份或某几份带有病毒，为了查明到底哪一份或哪几份血样带有病毒，必须对这100份血样再逐一检查一遍。那么到底采用哪种方案好呢？
如果采用第一种方案的话，每组血样要做100次检查，而若采用第二种方案，每组血样可能只要做一次检查，也可能要做101次检查。为了作出比较，必须求出采用第二种方案时每组血样需要做的平均检查次数，而这又需要知道两种检查次数出现的可能性有多大。
根据以往资料或试查资料（疾病普查之前常先进行小范围内的试查）估计，肝炎病毒的携带率为0.1％，即平均每1000人中有1人为病毒携带者，或说每份血样中带有病毒的可能性是01％。因此每组血样中每份都不带病毒的可能性是：
（1-0.1％）100≈90.48％，而有一份或几份带有病毒的可能性是1-90.48％=9.52％。因此，采用第二种方案验血，每组血样需要检查的平均次数为：
1×90.48％+101×9.52％=10.52（次），比采用第一种方案节省了89.48％。如果每验血一次需要花费10元钱的话，采用第一种方案进行检查需要花1.4亿元，而采用第二种方案只需要花1472.8万元，比采用第一种方案节省了1亿多元。
事实上，采用第二种方案进行验血时，并不一定每组含100份血样，也可以每组含50份或150份血样，等等，有兴趣的少年朋友可以试着计算一下，此时又能比采用第一种方案节省多少费用。
