例如，两人轮流在国际象棋棋盘的空格内放入“相”棋，一方为黑棋，一方为白棋。当任何一方放“相”棋时，要保证不被对方已放入的“相”吃掉，谁先无法放棋子谁为输者。问谁为输者？（国际象棋棋盘为8×8格的方形棋盘，“相”的走法为斜飞，格数不限）答案是先走棋者输。具体策略是：后走者以棋盘的一条竖直平分线为对称轴，将“相”放在对方棋子的对称位置。这种策略对后走棋者来说是必胜策略。因为先走者走棋后，按策略，后走者总可以走棋，而且因为“相”的斜飞规则，后走者的棋不可能吃先走者的棋，同时也不可能被先走者的棋吃掉。这样按策略走下去，先走者必输无疑。
选择与推理
对于复杂的问题，只要已知条件是充分的，能不能得出正确的结论，关键在于能否掌握正确的推理方法，从而选择出准确的结果。
流传很广的“谁养斑马”就是一个有趣的例子。这道号称世界难题的题，起源于美国，轰动一时，使很多人着了迷。它像一阵风，吹到世界各地，到处便掀起了解题热。在我国青少年中，同样也引起了反响，甚至一些老人也参加了研究和讨论。
原题说的是：某地从西向东，排列着五幢颜色各不相同的房子，侨居着5个不同国籍的人，他们都喜欢饲养动物，并且所养的动物种类各不相同。另外，5个人各喝不同类型的饮料，抽不同牌子的香烟。请你找一找：谁是喝水的人？谁是饲养斑马的人？已知条件有：
1.英国人住的是红色房子；
2.西班牙人养的是狗；
3.住绿色房子的人喝咖啡；
4.乌克兰人喝茶；
5.绿色房子位于白色房子相邻的东侧；
6.抽万宝路牌香烟的人养蜗牛；
7.住在黄色房子中的人抽可乐牌香烟；
8.正中那幢房子的主人喝牛奶；
9.挪威人住在西边第一幢房子里；
10.抽本生牌香烟的人和养狐狸的人是隔壁邻居；11抽可乐牌香烟的人和养马的人也是隔壁邻居；12抽肯特牌香烟的人喝桔子水；13日本人抽摩尔牌香烟；14挪威人和住蓝色房子的人是隔壁邻居。
这个题头绪很多，关系复杂。请你自己动手画一个图，便目了然了。
问题涉及：房子自西向东的顺序号码是1、2、3、4、5；房子的5种颜色；5个国家；5种饮料；5种香烟；5种动物。5×6=30，共30个元素。每个元素用一个字表示。
根据已知条件，在两个字之间连线。例如，条件1，英国人住红房子，便连一条线：
英红（条件1）；
同理，还可以画出：
西狗（条件2）；
绿咖（条件3）；
乌茶（条件4）；
万蜗（条件6）；
黄可（条件7）；
3奶（条件8）；
1挪（条件9）；
肯桔（条件12）；
日摩（条件13）；
2蓝（条件14）；
另外，还有三个条件没有用上，就是：
条件5，绿色房子与白色房子相邻，绿在东；
条件10，抽本生烟的人在养狐狸的人隔壁；
条件11，抽可乐烟的人在养马的人隔壁。
把条件5和条件1、条件9结合起来，得：
1——黄。由1，1不可能是红的；由2——蓝，和由白绿相邻，1也不可能是白或者绿。
从连线情况看出，抽可乐烟的人住1。用条件11，又得2——马。这样，图上已有13条连线了。
再用条件5，绿白相邻，红房子只能是3或者5了。这需要分两种情况讨论：
A，要是红房子是第5，得：
红……5，白……3，绿……4。这些是在假定A之下推出来的，用虚线连，表示区别于题设条件。
进一步，得：
乌——蓝。乌兰克人要是住白，应该喝奶；要是住绿，应该喝咖啡，都与茶矛盾，所以只有住蓝色房子。
乌……本。乌克兰住2必养马，所以不能抽万宝路，又因为不喝桔子水，所以不能抽肯特。
西——肯，因为西班牙人不养蜗牛，所以不抽万宝路。
于是，西班牙人要喝桔子水。这样，西……绿、西……白都不可能。推出了矛盾，说明这个假设红……5行不通，虚线作废。
B，红房子一定是第3。于是，红——3，白——4，绿——5。
乌克兰人只能住在蓝或者白，又需要分两种情况来讨论。
B1，由乌——白，得西——绿。因西班牙人养狗，不能在2。
于是得西——本。因西班牙人喝咖啡，不能抽肯特。
由条件10，西班牙人隔壁养狐，得白——狐。因为乌住白，养狐，不能抽万宝路。
于是，乌克兰人又喝茶又喝桔子水，矛盾。
B2，由乌——蓝，得乌——本。因乌——养马，不能抽万宝路；喝茶，不能抽肯特。
西——肯。西养狗，不能抽万宝路。
英——万。用条件10，养狐人是抽本生的隔壁，而英国人养蜗牛，只有挪——狐。
结论：日本人养斑马；挪威人喝水。
从上例可知，要想做出正确的推理和选择，对错综复杂的现象需慎重分析与判断。
欧拉的奇妙公式——F+V-E=2
数学思想的特点是，一旦它们被确定为真，它们应适用于所有情形。例如，要将前K个计数数相加，1+2+3+…+k，只需代入公式k（k+1）／2。这公式在数学上曾用所谓归纳法得到证明。按照自然法则，不可能就从1开始的相继计数数的每一个可能的集合对这公式作出验证，但是数学证明之美在于它们不需要蛮力。瑞士数学家伦哈德·欧拉以他的许多数学发现著称，特别是在拓扑学领域。他对柯尼斯堡桥问题的解被认为开创了拓扑网络的研究。拓扑学研究的是物体变形时保持不变的那些特性。例如，将立方体拉长和压扁，可使它变形成四面体，反之亦然。立方体的大小显然变了，它的面、顶点和棱的数目也是如此。结果人们会问，哪些特性留下来保持不变呢？一种观察是立方体内部的任一点仍旧是四面体的内点。除拓扑学之外，欧拉证明的有关多面体的一种不变特性的一个迷人的定理是：如果将多面体的面数与顶点数相加再减去棱数，结果总是2。F+V-E=2。可在如图所示的柏拉图立体上做试验。如果你有充沛的精力，可再在菱形三十二面体上试一下。
埃及乘法
埃及乘法存留了好多世纪，并且传播于各种文明。在古希腊学校中，它以埃及计算的名称教给学生。在中世纪，它的技巧在教学和论述中有专门的名称，例如加倍法和减半法。这里是赖因德草卷中的一个例子，记载着一位埃及文牍员是怎样做12×12的。先从12开始。然后加倍得24，再加倍得48，又加倍得96。接着在4和8旁边划斜撇，指出它们的和是12。于是把它们的对应数相加，得答数144。埃及乘法免除了背乘法表，因为它主要依靠加法。
除法与此相似。要将1120除以80，你只要找出80乘上多少能得1120。除数或者加倍，或者乘以10，100，1000等等，视被除数大小而定。于是可将结果加倍，直至一个等于1120的和被找到为止。如果问题是除不尽的，埃及人就用分数，像在47÷33的例子中。
向2逼近的梯子
古希腊人发现了用毕达哥拉斯定理作出无理数长度的方法。他们利用内接和外切正多边形以及无穷大和极限的概念来逼近圆的面积。他们还想出一种运用比率的梯子算术来求出无理数的近似值。这里介绍如何用这方法求2的近似值。
梯子同一级上两数的比值就含有比率1∶2，让我们把这个比率挤出来。事实上，这些比值越来越近于1/2。它们的极限就是1/2的值。
注：梯子每级上的两数是方程y2-2x2=±1的解。x值是梯子左列的数。1/2=0.707106781…1/1=12/3=0.666…5/7=0.71428571428…12/17=0.70588235294…29/41=0.70731707317…70/99=0.7070…中国的弦图能翻译中国古书的专家是很难找到的。能翻译与数学思想有关的中国著作的专家就更加难找了。这就是关于中国数学题在下左图中，内正方形的面积被标明为5×5或52＝25平方单位，这正方形被分面面积为（1/2）（3×4）的4个直角三角形和面积为1×1的一个正方形，共计25平方单位。在下右图中，同一正方形被分成两个较小的互相交叠的正方形，一个是3×3，另一个是4×4。它们的交叠部分与5×5正方形中没有被它们占据的空余部分面积相同，这说明大正方形的面积（52）等于两个小正方形的面积即32与42的和。
材的例子较少的原因。弦图，是中国数学家运用几何和算术工具获得代数结论的技巧。附图采自中国古书《周髀》。《周髀》的年代是有争议的，可能范围是从公元前1200年到公元100年。如果公元前1200年是准确的，那末它就是现在所知道的对于毕达哥拉斯定理的最早证明之一，比毕达哥拉斯及其信徒们的时代更早。在整个历史上，毕达哥拉斯定理曾经出现在众多文明之中。在建筑上，它是保证作成直角的一种方法。在数学上，这个定理曾经是并且至今仍是贯串许多数学学科的一个不可缺少的工具。
两个阴影矩形面积的和等于小阴影正方形（由两个交叠正方形造成）的面积。令5、4和3为变量c、b和a的值，从而证明a2+b2=c2。这个图说明正方形的面积如何通过那4个三角形和中间单位正方形面积的相加而求得。一般地，它证明了c2=4（1/2）ab+（a-b）2=2ab+（a2-2ab+b2）=a2+b2。完全平方数完全平方数是这样一种数：它可以写成一个正整数的平方。例如，36是6×6，49是7×7。
你知道吗？
从1开始的n个奇数的和是一个完全平方数，n2——即1+3+5+7+…+（2n-1）=n2。
例如1+3+5+7+9=25=52。
每一个完全平方数的末位数是
0，1，4，5，6，或9。
每一个完全平方数要末能被3整除，要末减去1能被3整除。
每一个完全平方数要末能被4整除，要末减去1能被4整除。
每一个完全平方数要末能被5整除，要末加上1或减去1能被5整除。
π的寓言
很多年以前，当时的那些数有一次盛会。数1在会上得意非凡。数2带着所有其他偶数出席。凡能找到的素数统统都来了。甚至还来了一些分数，像1／2、1／4和2／3。有几个根式也到场，像刚刚从以3为斜边的直角三角形上下来的2和7。但是当π翩然而至时，每一位都问道，“谁邀请你了？”“你说‘谁邀请我’，这是什么意思？”π问道，“我是一个数。”“你的确是一个数，但是你知道你在数轴上的位置吗？”“那末2呢？”π问道。“依照毕达哥拉斯定理，并且用圆规，我确切地知道我在数轴上的位置，”2回答道。
π感到窘迫和痛心，但它说道，“我在数3后面一点。”
“但是确切的位置在哪里呢？”它们都插进来说。
