对这种情况，麦克斯韦还没有找到一种形象的物理模型：“这种金属丝上的电兴奋状态，还没有在我的心中形成在不用符号的情况下，可以解释它的本性的观念。因而建议要自由地运用符号，把正常的数学运算看成当然的事，通过认真地研究弹性体的规律和有黏滞性的流体运动，我希望发现一种形成这种适合于一般推理的电兴奋状态的力学概念。”后来，麦克斯韦把这件工作干得很好，他建立了纯粹的数学模型，他把电的兴奋性与已经认识了的磁的矢量潜能等同了起来。
就其事情的本身而言，这倒没有值得惊诧之处，但麦克斯韦把一个变数与另一个变数在一种数学代替中进行了变换（他提出的流体动力学类比）。这里重要的是数学的形式，运用汤姆逊提出的分析技巧，麦克斯韦才能代替那种电流整体方程的形成，这是一种微分方程，麦克斯韦认识到它才是最关键的所在。
“现在我们在函数中得到了αoβo，γo，[(A)]，这是为了避免去考虑通过金属线上的磁感应量。我们不用这种表面的方法，而是用一种自然的方法去考虑存在于相同空间的电流自身有关的量和电流，对它们，我给出了‘电兴奋函数’的名称。”
用不同的方法表达电磁规律，麦克斯韦在这个领域里有了实质性的突破。在研究安培法则的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在。
电磁学的数学的不同方法是对法拉第观念的自然表达。不停地越过空间的力线产生的地方，又有赖于与它直接相邻的物质的关系，这就形成了一条不间断的传递链条。法拉第对场十分感兴趣，认为场是电荷在其相邻的地区创造出来的。麦克斯韦把这一点与几何学作了一个巧妙的类比，即把一条线看成是大量的点组成的。麦克斯韦把自己的这些想法告诉了法拉第，法拉第在回信中，谈到磁作用的时间问题，他想对它进行度量。
正是这一点启发了麦克斯韦的灵感：如果电磁效应并不是瞬时的，那么是什么东西使力进行传递呢？于是法拉第与麦克斯韦之间的大量通信开始了。法拉第等来了麦克斯韦的另一篇论文《论物理学力线》，在这里，他想把力线的观念扩大到引力中去。
在法拉第看来，电磁力线只不过是一种紧张状态，正电荷把一条线抛给负电荷，正是这种紧张状态把两个粒子拉在一块儿，这就是它们之间的相互吸引。
为了解释两个正电荷之间的斥力，就必须想像力线相斥。
这又引起力线相互间的方向改变。
法拉第所面临的问题是如何把这种分析扩大到引力，麦克斯韦马上回答了这个问题：
“你是第一个看到物体发生超距作用的人，这是一种人们实际相信的原则。你还似乎看到了力线绕过障碍物的弯曲，你还看到了伟大的神秘不是相似的物体如何相斥，而是相似的物体如何相吸（借助引力）。如果你能克服这个困难，那么你的力线就能编织成布满整个天空的大网。”
通过使所有的力线发生推而不是拉的作用，引力也就被包含在法拉第的几何世界观中了。在同一封信中，麦克斯韦还对它提出了具有现代意义的问题：“当我们面对引力这个大问题时，不禁要问：它需要时间吗？对于任何事物，对于‘宇宙之外’它是有极性的吗？它与电有关系吗？它建立在物质、质量和惯性的基础之上吗？”这里的第一个和最后问题正是广义相对论的核心问题，而引力与电的联系花费了爱因斯坦40年的心血。法拉第认识到走得太远，恐怕有危险，于是他提出这样的思想：它们作为一个核心而发生作用，围绕着这个核心，人的整个思维方式就会结晶为一个固体的、不可动摇的母体，而它却有可能是错的。麦克斯韦看到，法拉第被数学吓坏了，但他的想像力与直觉仍是出色的。在麦克斯韦的头脑中种下的时间种子在他的论文《论物理学的力线》中开花了。
麦克斯韦为自己提出了一个任务，即：建立这种电紧张状态的力学概念。现在他提出了一个以太的力学模型，可以解决电磁感应（移动的电场与磁场之间的联系），以与场的简单的静力性质相对立。
汤姆逊1856年在对磁场中的光旋效应的研究中，认为介质的分子应当绕着磁力线旋转运动，受这一影响，麦克斯韦设想介质由无数细微的、沿磁力线方向的、像蜂房那样排列着的以太的管状细胞组成。这些富于弹性的细长管胞也叫做分子涡旋，各自绕着其坚轴即磁力线的方向高速旋转。转动产生的离心力使管胞有横向扩张同时纵向收缩的趋势，而这种张缩的趋势是由管胞的转速决定的，它就是磁场大小的量度。麦克斯韦就是这样具体的用力学机制给出了法拉第所要求的由磁力线围成的力管的性质。
因近邻的管胞大都绕相同方向转动以给出宏观的磁场分布，那么近邻的两个原胞表面就会因线速度方向相反而发生摩擦阻滞。为了避免这种情况，麦克斯韦又让管胞之间都散布着一层可沿胞壁无滑动地转动的轮子一一空转轮，它们的转动方向与相接触的管胞相反，就像齿轮装置里的惰轮那样，起着改变转动方向的作用。这就是电的空转轮。在恒定而均匀的磁场里，各管胞的转动速度相同，因而电空转轮两侧的线速度相等，方向相反，只会转动而不会发生整体移动。如果磁场不均匀，相邻管胞的转速就会有差异，处在它们之间类层里的电空转轮就会按照两个管胞转速之差体切向迁移。于是同这种迁移相对应的传导电流就会同磁场的旋度成比例。这就是电流的磁效应。
此外，如果某处的磁场突然发生变化，该处的管胞转速必定随着变化。这样就会使得有关界面电空转轮的切向运动发生改变。也就是说磁场的变化产生了感应电动势，这就是对电磁感应的解释。
再考虑没有磁场的情形。这时所有管胞都不转动，但是，由于管胞的弹性，它们可以在某一区域挤紧一些，同时在另一区域放松一些，与管胞的这些弹性形象相联系的是在胞壁上的电空转轮偏离其平衡位置的弹性位移。这些或张或弛的弹性电位移，就代表着静电前的分布。于是，在麦克斯韦的模型里，在各个管胞的转动动能对应着磁场能量的同时，各个电微粒的弹性势能就能对应着电场的能量。由这种涡旋转动和弹性位移两者的分布和耦合，麦克斯韦可以通过相应的数学计算，精确地再现电磁学的全部已知的基本定律。
最后的也是最重要的一点，是麦克斯韦从以太模型中预言了还没有观察到的新效应。从上面的叙述已经可以看出，在这个模型里的电空转轮是无所不在地充满着整个空间的，因此它完全摆脱了原来对电流体的束缚而发挥着重要的作用。设想空间同时存在着磁场和电场，于是，管胞在旋转的同时，电空转轮也发生弹性位移即电位移。现在，假如电位移发生变化，亦即说电空转轮在法线方向上进逼或退离管胞，那么由于管胞的形和角动量守恒，它的转速就要发生相应的改变，亦即引起该处磁场的变化。这就是电场的变化要引起磁场的效应。或者，按照麦克斯韦所说的，位移电流也会像普通的传感电流一样产生出磁场，麦克斯韦就是以这种方式，在没有任何实验提示的情况下，推演出了这条作为电磁感应定律逆命题的定律。
在论文中，另一个重要的地方是“修正了电流的方程，目的是为了适应媒质的弹性”。在麦克斯韦的模型中，磁涡旋与位移电流互相啮合，与电的空转轮接合在一起。在安培的法则中，磁场与存在于金属丝中的一般的实验电流是联系在一起的。
但是，麦克斯韦认为，安培的法则只有在闭合电路条件下才成立。他认识到，在不同的形式中，安培的法则必然包括位移电流。他指出，关于电的连续性方程，即来自任何给定的量的全部电流必须等同于在那个量中电荷变化率。现在必须遵守这个法则，在安培先前的法则公式中并没有这个内容，这个事实人们似乎忽略了。
在论文的最后一部分，讨论了法拉第的磁光效应，通过分析这个效应而完成了这个环节。麦克斯韦写出的这些公式是很复杂的，但很重要，因为它预言了这个效应线性地依赖于分子旋涡的半径。正是这一点，涡旋的性质事实上直接在实验现象中发生作用。在别的地方，旋涡都用来解释正在发生的事情。如果不考虑终极的答案，就能把它们建立在宏观尺度上（量可以度量）。
正是这样，麦克斯韦完成了历史上最伟大的科学论文之一，这是物理学发展史上迈出的巨大一步。尽管还有一些未解决的问题，比如，电磁波的预言速度还得进一步测定，这包括把电流静力学单位与电磁单位进行比较。
然而，在一个更为深层的意义上，麦克斯韦不得不考虑他的以太模型现状，这使他做出了许多预言，但这些预言不知在什么地方适用。大多数科学家都停留在成就上，他们完成了以模型为基础的伟大成果，就不再考虑这个模型是否有错。他们不再回头看和重新思考整个模型的基础是否有什么问题。麦克斯韦则不同，他意识到了成功理论明显的危险性，这正如他在讨论莱凯因的贡献时（把热动力学建立在分子涡旋理论的基础上）讲的那样。
“科学家必须想像出一个模型以满足自己的要求，如果这个模型后来能解释许多需要解释的现象，那么他就容易得出这样的结论：这个假定是一个事实，至少到目前为止还没有发现比它更好的假设。因而，莱凯因在他解释了气体的特性之后很长时间才发现了分子碰撞的理论，他认为其证据就是热现象永远适应于连续流体封闭之流。”
麦克斯韦向来是十分谨慎的，他要用实验来检验这个理论的确实性。
如果可能的话，对这同一个假定，我们能把磁吸引现象、电磁现象、感应电流联系起来，那么我们将发现一种理论，如果它是错的，那么它会被实验证明是错的，而这种实验会大大扩展我们对物理学在这个领域里的知识。
到此为止，麦克斯韦开始重新考虑电磁学的结论了。他认为，在这里，分子旋涡是个关键。麦克斯韦清楚地意识到科学自身要求的连贯性与其基础可能脱离的危险。在这里，又发生了类似的情况吗？他在做出肯定结论之前花费了三年时间，到1864年底，他在写给凯尔文的信中说：
“我发现电磁扰动的传播独立于现在已知的任何假设（其速度与光速相等），这种扰动必然横越传播的方向。”
麦克斯韦在这里没有用他那个以太模型去理解光速以及它的确切值，他说：
“我还有一篇拿不准的论文，是关于光的电磁理论的。”在他1861年的论文中，他讨论了电磁的实验律，并根据这个模型来解释它们，他现在比过去走得更远了。他的模型给了他一个弹性涡旋，它是振动的，因而必是电磁波。
在《电磁场的动力学理论》中，他讲了电磁学的微分规律、电磁场，通过直接的数学推导，得出了波方程，不再担心媒质是否是理想的固体了。
“先前，我试图对一种特殊的运动和特殊的应力进行描述，以解释那些现象。在这篇论文中，我不谈任何一种这样的假设，使用这些词解释电动量、电弹性与电感应的已知现象，介质的偏振（极化）。我想让读者直接理解力学现象，以帮助他理解电现象。这篇论文中的所有用语都可以看成是图解式的，而非证明式的。”
后来，他对两篇论文作了比较。
“第一篇论文是为了表明这种现象可以用机械论来证明，机械论的本性是太阳系仪和太阳系的真正机制；后一篇论文以拉格朗日的动力学为根据。”
在这篇论文中麦克斯韦提出了一个敲钟人的比喻。
“在一个一般的钟楼里，每一口钟都有一根绳子与敲钟人的房间相连，你可以设想，每根绳子都对这口钟的许多部分的运动有用，而每个部分的运动都不是只取决于某一根绳子，而是与所有的绳子都有关系。你可以设想，这口钟构造的情况，每部分的作用。但敲钟人是不知道的。敲钟人只看到那根绳子。”
敲钟人所知道的只是一拉绳子就会发出钟声，最后的结果与特别的始因相关联，但关于钟楼的整个结构和作用对敲钟人来说是不清楚的。
1861年，麦克斯韦在他的一篇论文中对他那个电磁学实验输入法则作了重大改变，他在安培法则的一般电流中加上了位移电流。这就有效地检查了这一附加的项是否是恰当的。早在1861年之前，当他刚刚完成他的力学模型之后，他就发现可以对安培法则进行可能的改变。
“我试图不借助假设对一切现在还没有认识的电磁现象做出一个精确的数学表达。对安培公式做任何变化是可能的（可以不考虑与他的表达是否矛盾）。所以我正在研究关于其成分相互作用的最一般的假设，它能满足这样的条件：一种成分与一个闭合电路的作用是零。”
他坚信他对这个法则的修改是对的，从这个法则的完整形式到他偏爱的微分形式，这个附加的项是需要的。在1864年的论文中他写出了与电磁的组成部分相关的一组一般微分方程。
这就是为人们所知的麦克斯韦方程。
正是因为这个附加的项，安培法则中的位移电流，在与麦克斯韦的4个方程合在一起时，电磁波必须存在。麦克斯韦在他这篇论文的第6部分中，看到了这个问题，并作了明晰的表达：当这些方程结合起来时，一种波的解释必须存在，而且它的速度必须是光的速度，并且这种电磁波只能是横波。
数学坚信以太，以太可以传播光。
