在《电磁论》中，他的数学物理学还包括了他对“球面谐波函数的极”表述的萌芽，以及他的格林函数和格林相关性定理，这些都与剑桥的数学风格相一致，但对工具的观察和讨论又与剑桥不一致。
在进行测量工作中，他特别强调数学的分析，他认为这有助于形成合宜的实验工具。19世纪50年代，因为电缆电报新技术的要求，促进了对电阻标准的测定。
在剑桥大学设立实验物理学教授职务与对数学荣誉学位考试的改革有关，即把物理学的内容加到考试的内容中去。这个运动是麦克斯韦发动和培育起来的。他当时在剑桥大学任实验物理学教授，主要是研究两个大问题：教导参加数学荣誉学位考试的学生学习热、电、磁方面的数学物理学内容和设计新的物理学实验室，他的目的是把数学家们的精力引向实验物理学，使参加数学荣誉学位考试者成为物理学家。
麦克斯韦既继承了爱丁堡大学物理学的实验传统，又继承了剑桥大学的数学传统，这二者的结合是自然哲学发展的基础与前提，片面地只强调一方面，都不可能对自然有正确深刻的认识。麦克斯韦有意识地把二者结合在一起，创造了一种十分有效的认识与探索自然的新方法。
4.物理学与几何学的结合：
形象思维的方式
（1）物理学与几何学的相似性
场理论的语言：法拉第与汤姆逊
麦克斯韦在写作《论法拉第的力线》时，在写给w·汤姆逊的信中说：
“我一直在计划和建立力线的命题系统，也许它能用于电、热或磁中，但它本身中存在的纯几何学真理在曲面和直线的几何概念中具体化了。”
在这篇论文中，麦克斯韦提出了表达磁力与电流之间关系的系统法则。这些法则的基础是相互作用的曲线和经过曲面的直线的几何的形象化。为了表示力的方向，他使用了法拉第力线的理论，为物理现象提供了几何学的模型；为了表达力在每个点上的强度，他引进了物理学的类比（相似性），即任何理想的流体运动的几何学观念。他采纳了这种建立在几何学上的方法，以及在电和流体运动之间的数学形式上的相似性，他的目的是“在不用物理理论的前提下得到物理学的观念”。用物理几何来解释电磁是以几何学和物理学相似为基础的，这是麦克斯韦自然哲学中的重要议题。
自从1850年以来，麦克斯韦就认识了汤姆逊，并跟着他研究电磁理论。
汤姆逊关于位势的理论启发了麦克斯韦对电和磁理论的兴趣，法拉第的著作使他第一次认识到他的贡献不过是把法拉第的观念翻译成了数学的形式。他说，在我研究法拉第的时候，我感到他考虑现象的方法也是一个数学的方法，不过没有用传统的符号形式来表达罢了。法拉第想像出通过空间的力线，强调媒质是电磁场的具体表现。麦克斯韦认为，正是这些概念很好地表达了数学形式。在他所做的这种数学解释过程中，最重要的是关于位势的理论，在本质上它属于法拉第方法。在这种数学方法中，位势是一个函数，它用质量或电荷来衡量作用于空间中一个点的力。在布瓦松的电荷方程中，电荷的分布在一个偏微分方程中与位势相联系。在位势理论上，汤姆逊是他的主要导师。在麦克斯韦看来，这些清晰的法拉第式的概念从本质上看是数学的。切割等电位曲面的力线图可以看成是用力线讲话的法拉第的语言。位势的概念可看成是能满足某个偏微分方程的量，这是一个媒质连续部分之间的作用力的最合适的表达，所以它达到了“法拉第想发现在媒质中进行的真实作用的现象之源”的根本目的。
麦克斯韦把法拉第的力线概念弄成了他电磁场理论的中心，他把表达场的两种模式合并到他论电磁场的头两篇论文中。在《论法拉第的力线》中，他发展了法拉第力线是最重要的理论观点；在《论物理学的力线》中，他建议对法拉第的电静力学作用作力学的解释，这是一个“对发现光的电磁理论来说是最基本的模型”。在《电磁论》中，他指出了法拉第的两个原初的概念，它们是电磁场表达的两种模式。
麦克斯韦说，力线的理论表明“法拉第实质上是一个极高水平的数学家”。这是他解释法拉第观念的重要特色。他批评了那些指责法拉第的“推理过程具有不确定的非数学的品格”的言论。从物理学上看，他反复强调法拉第直觉的语言在本质上就是数学的。
在电磁研究中，麦克斯韦大步前进。特别是位势理论的运用形成了他物理学类比方法的基础。一种科学法则和另一种科学法则之间的部分相似性使其中的一种能证明另一种。
汤姆逊对数学和物理推理之间划的界限得到了麦克斯韦的回应。在《论法拉第的力线》一文中，他说，在热传导和吸引的情况中，这两种现象之间（很不同）有一种数学的相似性，这种相似性的基础是其法则的数学相似性。他指出，这种相似性在激发合适的数学观念上是有用的，他提出了物理现象的几何学模型，这是一个物理学的相似，而非物理学的假设。麦克斯韦慢慢地发展出“力线的物理作用的法拉第观念”的数学意义。
汤姆逊对位势理论的兴趣使他与他的朋友斯托克斯一起，出版了一系列关于流体动力学的论文，提出了热传导静电学和流体运动之间有联系的思想。他把这种相似性扩大到包括磁。
在他的一篇重要论文《磁的数学理论》中，设想了在两种不同的几何学模型中磁力的分布。
汤姆逊提出了连续性方程，1855年，麦克斯韦开始研究这个方程。汤姆逊熟习法拉第的力线理论，他提出的位势理论可以用来表达法拉第的观念。他对磁力的数学表达进行了系统的阐述，所有这些都是汤姆逊的独创，而麦克斯韦站在汤姆逊的肩膀上，因而是他，而不是汤姆逊，提出了最一般的理论。很容易解释这两个人之间的关系，汤姆逊是数学的创新者，麦克斯韦是物理学的理论家。在汤姆逊还没有把静电学和磁学弄成一个完整的系统理论时，这项工作只能形成理论的大纲。不过这两个人著作的风格有很大的不同：汤姆逊的著作中讲的主要是数学，其物理学含义只是隐含的，它在理论世界观中的地位并不明确；而麦克斯韦则不然，他是一个自然哲学家，他的目的是要提出一种世界观。他大量的论电磁场的笔记，清楚地表明了他理论观点发展的线索：从法拉第力线的几何学理论到物理学力线l的物理力学和电磁场动力学理论的分析力学，每篇论文都有自己的主题，但它们合起来成为统一的对物理场的系统解释。用他自己的话说就是：理论透镜的焦点有时对准这一主题，有时对准另一主题，所以可以达到不同的深度。
在概念的发展上，在创造一个系统的数学场物理学方面，麦克斯韦的成就超过了汤姆逊。在此过程中，他深化了汤姆逊的数学，转变了它的含义，数学的场理论建立在法拉第的形象化描述之上，表达了力线和闭合电路之间的相互作用。一句话，他对汤姆逊的数学进行了改造，赋予它不同于汤姆逊独创性概念的含义。汤姆逊对数学的贡献主要是基本的数学形式主义。
在强调概念的发展中，麦克斯韦并没有放弃数学的创新。
他承认汤姆逊数学表达的价值，但他的创新的核心是数学。他对汤姆逊概念的改造使他引进了电紧张函数，并用它解释了法拉第的力线理论。
麦克斯韦对法拉第力线概念的翻译，在概念转化中有决定性意义。他提出来的强度和量的概念在法拉第讲的沿着力线的动力学条件的概念中有其根源，追随法拉第提出的“力线可以用电紧张状态来代表”。他引进了电紧张状态函数（有数学上的重要性）。
从一开始，麦克斯韦就在考虑电磁场，电磁以位势理论和互相垂直的曲面为基础，因而它是几何学的。1854年在他给汤姆逊的信中已大致勾画出这种思想的中心部分，后来这个思想在《论法拉第的力线》中得到系统的阐述。他设想力线直角切割等位势曲面，因而空间被切割成部分。用曲线充满的空间提供了一个物理现象的几何学模型，这种几何学模型能告诉我们力的方向，但我们需要知道在任一点上力的强度的方法。
在这种物理学的类比中，他设想了曲线（而不仅仅是直线），作为载有不可压缩流体的可变部分的小管。在这个模型中，力的强度与方向用这些小管中流体的运动来表示，是力线形成这些小管和指向理想流体运动方向的曲面。这种物理学的类似在不涉及流体的数学理论的分析标记法时得到解释。麦克斯韦的目的是把数学的观念用一个具体的形式提供给精神，作为直线或曲面的系统，而不仅仅是一些符号。
麦克斯韦提出的磁场表达模式得到了明确阐述。在空间中的力线是它的理论基础。
对爱丁堡的物理学和哲学的理想来说，麦克斯韦强调超感觉性是数学的目的，而几何学正是超感觉性的关键。这是一种在数学相似意义上的相似，它不赋予流体假设的物理性质，而是把它翻译成力线的性质。他想避免任何这样的假设——作为想像的性质的集合，可以为力线的物理学理论提供相似性，这个模型是想像的和几何学的，他支持超感觉性，力线物理本性理论的发展对麦克斯韦来说是未来的任务。
（2）几何学与物理学的几个问题
向量：场理论的几何学
P.G.泰特提出了四元运算法，这是一种向量分析的方法。
泰特觉得在数学物理学中这种方法是有用的。汉弥尔顿在他那本论代数的书中也讲了这种四元演算法。
一直到1870年，麦克斯韦才对四元方法激动起来，他把四元数运算看成是一种新的数学方法，是一种“关于向量的学说，它对表达物理学的概念和关系来说是很有用的”，因为“在电磁学中，存在大量的不同向量的量”。他认为，电磁学的量可以表述为“电磁场的向量函数”。他告诉泰特，他想运用向量符号来表述电磁学。麦克斯韦支持四元法，是因为他认为四元法提供了一种几何学的思维方法。
“四元法，或称之为向量学说，是一种数学的方法，是一种新的思维方法，思维经济的方法。它要求我们每走一步都要形成一种用符号代表的几何图形的精神形象，这样我们在用这个方法研究几何学时，就会专注于几何学的观念。因为，如果我们只是算术家，那就不允许把自己想像成几何学家了。”
在这里，他特别感兴趣的是数学物理学的问题。向量可以提供精神形象，这是物理量的几何学表述。当这样做时，几何学就被看成了超感觉或可理解性的关键，这反映了麦克斯韦强调苏格兰数学与哲学的传统。他指出，四元法提供了一个与物理学含义一致的电磁学量的直接表达方法，这个方法是表达几何学的和物理学的量的手段，它比笛卡尔的坐标法更基本更自然。因此，他打算把这种方法用于电磁现象的研究。
因为电磁量是向量，所以他才对作为数学物理学方法的四元方法感兴趣。在《电磁论》中麦克斯韦说，向量的，空间的，几何学的语言能表明电磁学的物理学关系，因而，这种向量的、几何学的方法更适用。他特别关心四元法术语的系统命名法。汉弥尔顿提出的算符V被称之为“纳不拉”Nabla（亚述人的竖琴），泰特成了最主要的竖琴弹奏家。他特别关心为汉弥尔顿的无向量和向量函数的标符结果命名。有向量函数算符的结果特别重要，它给了螺线管和薄结构磁分布的四元数表达法：“如果代表向量函数，V就包括有向量和无向量两个部分，它们可以写成S和V，我建议称无向量部分为的收敛，这是向量函数效应的好名字。但是，一般说来也是有向量盼郎分，可以称这种向量为原初向量函数的蜷缩(curl)或变体(version)，它代表了由向量所承载的内容旋转的量与方向。”
四元法的表达方法可直接译成向量分析中它们的等同物。
收敛和蜷缩是几何学的，用它们来表示方向。
四元数的符号学指示了空间中物理的量和方向之间的关系，它并不包含动力学的意义。在《电磁论》中讲的动力学理论、四元数的物理学几何，由动力学的解释来补充。
总之，四元数的符号学表达了电磁学的几何学，而不是电磁场的动力学性质，它是关于向量的学说，表达了电磁场动力学理论的几何学基础。
麦克斯韦对向量进行了分类：
“物理学的向量可以分成两类，一类把量定义为一条直线，而另一类则定义为一个地区。”作用于物体的力被定义为一条线，而热或电流则被定义为一个地区。在电磁学中，电力线或磁线用线来定义，他把这些称之为力。电位移、电流和磁感应强度用地区来定义，他把这些称之为电磁通量，每一种这样的力都可以看成产生或倾向于产生与它对应的电磁通量。麦克斯韦还对与这两类向量有关的数学进行了研究。麦克斯韦根据向量、力和电磁通量、电磁理论的研究，以及对整体的线、面的研究，把这种理论建立在纯几何关系的基础之上，把《论法拉第的力线》的物理学几何转变成一种数学的方法，这种方法正与这种几何关系的表述相适应（汉弥尔顿的四元法）。
