位置几何学：拓扑学和投影几何学
麦克斯韦讲的位置几何学来自高斯的说法。莱布尼兹曾提出过要建立几何学的算法和规则系统，用来表达几何学的位置。在麦克斯韦的数学物理学中，位置几何学和投射几何学都占有重要地位。他熟习庞斯莱(J.V.Poncelet)和米舍尔·查斯里(Michel Chasles)的投影几何学，欢迎它的复活。他把投影几何学看成是一种几何学类比的方法，这种方法在《论法拉第的力线》中，首次得到研究并把它运用到参照系、几何光学电路和气体运动理论中去了。
拓扑学源于莱布尼兹对规则系统的研究，他想用它来表达几何学的位置。欧拉曾用边面和封闭凸面多面体的数目之间的关系来对多面体进行分类。最重要的是，黎曼(Bemhard Riemann)研究了几何学中的连续性，他试图用面和边的性质对面和边进行分类。亥尔姆霍兹曾用黎曼对面的拓扑连接性的方法对面进行分类，研究了复杂函数理论。汤姆逊也采用了黎曼的术语，研究了涡旋的运动。
麦克斯韦研究了亥尔姆霍兹的涡旋运动定理和电磁理论之问的关系，研究了曲线曲面的拓扑学并注意到邻接面的关系和封闭面线在涡旋理论和电磁理论中的重要性。这种兴趣在1868年12月达到顶点，他把李斯廷(Listing)的拓扑学运用于几何图形之间的关系，解释了李斯廷笔记中对空间复杂性的看法，注意到高斯关于扭曲线拓扑学定理。1870年，他写了《地形几何学》一书，把拓扑的概念运用于地图和外形轮廓线。这些关于拓扑学的思想在《电磁论》中也有表现。在这里，他展开了线、边、面的概念，强调把它们运用到线、面整体构造中去，研究了包围空间有限地区曲面的数目、连续性和封闭曲线的连接性，研究了被外部曲面包围的有限闭合曲面，直线和曲面连续性的定义，这就为解释积分定理和把它们运用到电磁物理学中去打下了几何学的基础。向量、积分定理和拓扑学概念，形成了《电磁论》的基础和关于电磁量几何学的和向量特征的概念框架。
拓扑学的观念进入了麦克斯韦关于力线和电流之间关系的定义之中。随着向量的引入，《电磁论》中的数学重要性增加了。
他对法拉第光电效应的解释，为他使用拓扑的概念作了证明，特别是他关于几何学的和动力学的观点，把他与法拉第效应结合了起来。《电磁论》中的几何学的和动力学的论证引导他去解释“分子涡旋的假设”（第一次在《论物理学的力线》中提出）。
《电磁论》中场理论的物理几何学是用拓扑学和向量几何学来说明的。在19世纪50年代，线与面之间的几何学类比，液流和磁场之间的几何学类比，形成了作为物理几何学的场理论。
几何学的类比在形成麦克斯韦的物理学中一直占重要地位，特别是他对投影几何方法的运用更是如此。他对气体的运动理论也作了几何学的解释：
“我把这种方法看成是数学研究的有力工具。如果对两个互相联系的系统进行同时考虑，那么这个系统中的每一成分在另一系统中就有对应的成分。”
这就是位置几何学，它建立在几何学的对应之上，它强调基本结构，在几何光学中，也有广泛的应用。麦克斯韦把交互作用和二元性也作为类比的方法，其基础是几何图形之间的关系和对应。他在对参照系的图形分析中，展开了这种方法，并把它运用到几何光学、电路和气体理论的研究中去。
通过几何学的表达与类比，麦克斯韦把几何学当成表达物理关系的手段和类比推理的方法，这在《论法拉第的力线》一文中有头等的重要性，在他的自然哲学中也是重要的课题。几何学和类比推理可以看成是理解物理学概念的向导。他在一篇论文中谈到类比时说，“用科学的观点看待关系是我们要认识的重要事情”。
物理实在：以太和物质
以太是古希腊哲学家首先设想出来的一种媒质。17世纪以后，为了解释光的传播，以及电磁和引力相互作用现象，又重新提出了这个概念。当时的物理学家们认为，光是一种机械的弹性波，这类波的传播必须有某种弹性媒质作为媒介，比如声波的传播要靠空气或水作媒质。但光却可以通过真空传播，所以必须假设存在一种尚未发现的以太作为传播光的媒质。为了解释光在传播中的各种性质，就得假定以太无处不在（包括真空和任何物质的内部），以太是没有质量的，绝对静止的，即一切物体相对于以太的运动就是它的绝对运动，电磁和引力作用则看作是以太中的特殊机械作用。到19世纪，以太这一概念已被普遍接受，但人们也发现不少问题，比如，为解释更多的现象，它必须具备显然是不合理的性质，企图用实验来证明以太的存在（麦克尔逊一莫雷实验）又都归于失败。直到20世纪初，随着相对论的建立和对场的进一步研究，完全确定了光（电磁波）的传播和一切相互作用的传递都通过各种场而非机械媒质，以太作为一个陈旧的观念才被放弃了（参见《辞海》“以太”条目）。
麦克斯韦在1862年《论物理学的力线》中写道：“光存在于同一媒质的横向波动之中，它是产生电磁现象的原因。”这里隐含了把光和电磁现象用以太的力学理论统一起来的思想。在1865年《电磁场的动力学理论》中，他又从场方程中引出了波的传播，仍把以太当成光与电磁统一的理论基础，并把他的理论称之为“光的电磁理论”。
“光与磁是同一物质的作用，根据电磁法则，光是通过场的电磁干扰。”
在《电磁论》(1873)中，他解释了“来自光的与电磁的证据的一致性”，使人确信媒质存在的实在性。可以把以太看成是一种假设，但它的存在可以证明电磁波的传播速度接近于光的传播速度。
麦克斯韦关于光的电磁理论把发光的和电磁的媒质统一起来了，这就解释了惠威尔提出的“理论走向统一和简洁”的思想。
麦克斯韦强调电磁场理论的动力学基础。电磁效应被看成是借助能来传播的，而能是不能离开物质而存在的。当能从一个物体传到另一个物体时，必然存在传播它的一种媒质。在这种（以太）媒质中，电磁场被具体化了。因而能的传递隐含了媒质的概念，传递正是在这种媒质中发生的。如果麦克斯韦再往前走一小步，就可以认识到场是不需要以太的了。
5.“一个时代的物理学造就那个时代的形而上学”
关于物质的定义，在哲学上有很大的争论。比如，牛顿主张肉眼看不见的原子和分子具有在空间上广延的性质，具有不可人性。麦克斯韦不同意牛顿关于物质的广延性、硬性、不可入性、运动和惯性是一切物体的普遍性质的观点。牛顿认为这些性质都由经验得知，借助自然类比，他把这些性质归之于不可见的粒子（原子），并宣称，这是一切哲学的基础。
麦克斯韦认为，牛顿的这种形而上原则从哲学上看是含糊不明的，因为它建立在感觉经验之上。牛顿提出的自然类比的学说把不可看见的原子特征化了。这在原则上又超出了感觉的范围。因而，麦克斯韦得出这样的结论：认为可以把分子和原子设想为有广延的、不可入的物体是没有根据的。这样，麦克斯韦就否定了牛顿讲的自然类比是一切哲学的基础的学说。
可以看出，麦克斯韦在哲学上是很内行的。我们的哲学决不能只停留在感觉上。
关于分子力的讨论，他指出了分子的性质和大尺度物体性质之间的断裂。
“当我们研究物质的很小部分时，它的性质就与可观察的大尺度的物体不同了。我们称之为分子的力表明其自身的活动方式不同于大尺度物体的活动方式。”这种思想无疑是很深刻的。
在麦克斯韦看来，物理学和形而上学有十分密切的关系，一个时代的物理学世界观形成了那个时代的形而上学观。他指出，他那个时代物理学上的一些争论没有形而上学的含义，即是说这些争论从哲学上看是朴素的、没有检验过的哲学假定，主张没有形而上学也行。麦克斯韦认为，这是错误的，是坏的形而上学统治的结果。他牢记泰特的《热力学》以及汤姆逊和泰特合著的《论自然哲学》中提出的观点，他指出，泰特提出了定义物理实在的四个范畴：力、物质、位置和运动，它们是相互关联的。但是，他又指出，热并不属于以上任何一个范畴，它只属于能。他不赞成汤姆逊和泰特关于物质的定义（物质是能感觉到的东西），他宣称贝克莱引用的托里拆利（1608~1647，意大利物理学家，数学家）的观点“物质是人的感官感觉不到的东西”，是合宜的。即“物质只不过是女妖铴西的魔瓶，它只充当力和斥力动量的接受器”。在他的动力学物理理论里，物质只与能和动量相联系，而不是某种可知觉的东西。在他看来，存在于电磁场中的能量的分布理论的主要概念特色是媒质，在媒质中，能才能传递。
因而，能只存在于物质中，物质只能根据作为接受能的器具来定义，能在电磁场中的传播隐含了这么一种思想：借助物质实体（媒质）的调节，能才能进行分布。
麦克斯韦用哲学的分析来证明隐含的形而上学假定，即在关于物质的问题上泰特和汤姆逊求助于经验论的原则是错误的。他支持动力学，而动力学本质上是非形而上学的。动力学的基本概念与任何关于物质实在的思辨没有关系。对动力学来说，它只与质量有关，“动力学中的每个物体，或每个物体的部分，只有量的价值，这就是质量”。“我们已经形成了物质量的方面的观念，它是我们思想的必然组成部分，这就正如空间的三维和时间的永恒之流一样”。他同意惠威尔的观点，认为质量是必然的真理。他指出，一个形而上学家（比如牛顿）可以得出这样的结论，“被称之为惯性的性质是物质基本的不可分割的部分，但这与动力科学无关。动力学的根本问题是：一个物体的质量是可以测量的和永恒的，用它的质量来测量物体是所有动力学的目的”。
